電気回路 １階微分方程式の問題

質問

次の問題を教えてください。
●インダクタンスＬと抵抗Ｒからなる直列回路が、電圧Ｖ０の直流電源につながる。時刻ｔ＝０で回路のスイッチを閉じる。

１)時刻ｔで、回路に流れる電流をｘ(ｔ)[Ａ]とする。キルヒホッフの法則を用いて電流ｘに対する微分方程式を求めよ。
ｖ０＝Ｌ(ｄｘ)/(ｄｔ)＋Ｒｘ
でよいのでしょうか。
２)この微分方程式について、その斉次方程式の一般解ｘｔ(ｔ)をもとめよ。
(ｄｘ)/(ｄｔ)＋Ｒ/L・ｘ＝０
ｘｔ(ｔ)＝Ａｅ＾(－ｒ/Ｌ)ｔ
でいいですか。

回答No.1

inara · ベストアンサー

>ｖ０＝Ｌ(ｄｘ)/(ｄｔ)＋Ｒｘでよいのでしょうか
合ってます。

>ｘｔ(ｔ)＝Ａｅ＾(－ｒ/Ｌ)ｔでいいですか
表記が統一されてませんが、合ってます。正しくは
　　　xt(t) = A*e^( -R*t/L )
です。

電気回路の問題とはいえ、これは「１階線形微分方程式を定数変化法で解く」というものなので、その解き方を説明してくれる便利なサイトを紹介します。元の微分方程式で、x(t) を y、(ｄｘ)/(ｄｔ) を y' と書き直すと
　　y' + (R/L)*y = v0/L
なので、ここ（http://webmath.ecip.osakac.ac.jp/webMathematica/MandaiLab/Mandai/flinde.jsp#gr）で、f(x) = R/L、r(x) = v0/L として「実行」をクリックすれば、斉次方程式の一般解 xt(t) も、元の微分方程式（非斉次方程式）の一般解も解いてくれます。

一般解は
　　　x(t) = v0/R + A*e^(-R*t/L)
ですが、RL直列回路では、t = 0 で x = 0 なので、最終的な解は
　　　x(t) = v0/R*{ 1 - e^(-R*t/L) }
となります。