電器回路中の微分方程式

質問

単純なLR回路の電流を求める問題なのですが、キルヒホッフの電圧則により、回路方程式は立てたのですが、

V=LI'(t)+RI(t) ('は時間tによる微分演算子の略）

微分方程式はまだ習っていないので、手の着けようがありません。順を追って説明していただけないでしょうか。

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

微分方程式の解を、よく知っている関数の組み合わせで書くことを
「求積する」というが、コレは常に可能な訳ではないし、いつでも
使える計算手順は存在しない。
だから、式変形をして、既に求積のしかたが分かっている方程式へ
帰着させるように努める。それが最善でしかない。

V = L I'(t) + R I(t) の場合は、
V = L 0 + R X の解である定数 X = V/R を使って
0 = L { I(t) - X } ' + R { I(t) - X } と変形すれば、
よく知られた、f '(t) = A f(t) のパターンに落ち着く。

f '(t) = A f(t) の解は、f(t) = C e^(A t), C は定数 だから、
{ I(t) - V/R } ' = (-R/L) { I(t) - V/R } の解は、
I(t) - V/R = C e^{ -(R/L) t }, C は定数。

あとは、初期条件から、
I(0) - V/R = C e^{ -(R/L) 0 } を解いて C を定める。

お礼

かなりしっくりくるものがありました。式変形だけで、ここまでわかりやすい形にもっていくことも可能なんですね。
微分方程式は自分にとってまだ未知の分野ですが、少しずつ興味がわいてきました。ありがとうございました。

回答No.3

noname#111804

V = L I'(t) + R I(t) ・・・・・（１）

微分方程式の解は
I(t)＝V/R（1-exp（－R/L)t)・・・・（２）
です。それを確認してみます。

L[ｄI(ｔ）/dt]＝L[（－V/R）(-R/L)exp（－R/L）ｔ]
＝Vexp（（－R/L)ｔ）・・・・・・（３）

R[I(t)}=R（V/R)（１－exp（（－R/L)ｔ）
＝V(１－exp（（ーR/L)ｔ）・・・・（４）

（３）、（４）を（１）式に代入します。
（１）式を満たすことがわかります。

つまり、（２）式が解であることがわかりますね。

お礼

なるほど、ありがとうございました。

回答No.1

inara1

＞微分方程式はまだ習っていないので
でしたら、解が
　　　I(t) = A + B*e^( t/C ) --- (1)
と仮定して、係数A, B, C を決める方法はどうでしょうか。

式(1)の両辺を t で微分すれば
　　　I'(t) = ( B/C )*e^( t/C ) --- (2)
式(1), (2) を回路方程式に代入すると
　　　V = L*( B/C )*e^( t/C ) + R*{ A + B*e^( t/C ) }
　　　　 = R*A + B*( L/C + R )*e^( t/C )
もし V が定数（時間変化しない）のであれば、t を含む項を右に、t を含まない項を左に集めると
　　　V - R*A = B*( L/C + R )*e^( t/C )
となります。この式がいつでも（ t が何であっても）成り立つには
　　　V - R*A = 0
　　　L/C + R = 0
が同時に成り立たなくてはなりません。したがって
　　　A = V/R、C = -L/R
解は
　　　I(t) = V/R + B*e^( -R*t/L )
という形になります。

B の値は初期条件で決まるもので、例えば、t = 0 のとき電流が流れていないのなら
　　　I(0) = V/R + B*e^0 = V/R + B = 0
　　　→　B = -V/R
解は
　　　I(t) = V/R - V/R*e^( -R*t/L )
　　　　　= ( V/R )*{ 1 - e^( -R*t/L ) }
となります。

お礼

仮定式ということは、もうこの種の問題はネイピア数の指数型になるのが前提ということですか？
確かに代入すると成立しますね。ありがとうございました。