LCR回路の微分方程式

質問

@@　　　―Ｃ―　　　　Ｃ：コンデンサー C[F]
―Ｒｖ―|　　　|―　　 Ｒｖ・Ｒ：抵抗　 Rv・R[Ω]
@@　　―Ｒ―Ｌ―　　　　Ｌ：コイル　　　 L[H]
@は、ずれを少なくするためにいれました。

上の図のような抵抗と、コンデンサーとコイルを並列につないだ回路にV(t)の電圧をかけたとき、各部分(Rv・C・L)に流れる電流を調べたいのですが、どのような微分方程式をたてたらよいのでしょうか？
わかりやすく説明して頂けたらありがたいです。

回答No.4

ruto · ベストアンサー

当然２階の微分方程式になります。
i1：Cに流れる電流
i2：Lに流れる電流
i0：Rvに流れる電流とすれば。
・i1＋i2＝i0　　　　　　(1)
・di0/dt・Rv＋i1/C＝0　　(2)
・i1/C＝R・di2/dt＋L・d^2i2/dt^2　　(3)
・di0/dt・Rv＋R・di2/dt＋L・d^2i2/dt^2=0　　(4)
この連立微分方程式を解いてi1、i2、i0を求めればいいと思います。

お礼

まだ高校生で、微分方程式に興味をもってやっているのですが、
式を使った説明、ありがとうございました！
連立微分方程式をがんばって解いていきたいと思います。

回答No.3

noname#101087

>回路方程式をたててみたのですが…

そうですか。#1 さんがおっしゃる「連立」とは、

　　C の通過電流を i1
　　R―L の通過電流を i2
　として、
　　i1/p = R*i2 + i2/p
　　V = Rv*(i1 + i2) + i1/p
　(微分演算子 p = d*/dt)

…といったスタイルだと思いますが。

お礼

連立微分方程式をやったことがないもので・・・。
ご説明ありがとうございます！

回答No.2

foobar

式をまとめてゆくと、最終的には二階の微分方程式になると思います。
（保存量が、コンデンサの電荷とコイルの電流（正しくはコイルの磁束）の二個あるので、二階の式になります）

お礼

ありがとうございます。
さっそく式をたててみたいと思います！

回答No.1

foobar

コンデンサの電荷qとコイルの電流ilを変数として、微分方程式を建てるのが楽なように思います。

コンデンサの電流ic=Cdq/dt,電圧vc=q/C,コイルの電圧vl=Ldil/dtを使って回路方程式を建てれば、そこからqとilの連立微分方程式になるかと思います。

補足

回路方程式をたててみたのですが
V=I_{Rv}*Rv+Q/C
V=I_{Rv}*Rv+I_{L}*R+L*dI_{L}/dt となり、I_{Rv}=I_{C}+I_{L}を使って
計算していったところ、foobarさんのおっしゃっられていた連立微分方程式ではなく、二階微分方程式になってしまったのですが、いいのでしょうか？