コンデンサの問題

質問

電気回路の問題です。

回路は直流電源E,、抵抗R、コンデンサC_1からなる直列回路であり、コンデンサC_1の部分にスイッチとコンデンサC_2が並列に接続さているといった回路です。
初期状態でコンデンサC_1には電圧Eが充電されているとします。t=0でスイッチを閉じたとき、コンデンサC_1とC_2の端子電圧およびRに流れる電流を求めよいう問題です。

これを解くためにコンデンサC_1に流れる電流をi_1、C_2にながれる電流をi_2として回路方程式を2本立ててみました。
E=R(i_1+i_2)+1/c∫i_1dt+E
E=R(i_1+i_2)+1/c∫i_2dt

この回路方程式を解こうとしているのですが、うまく解けません。
そもそもこの回路方程式で正しいのでしょうか？
解法を示していただけると幸いです。
ちなみにラプラス変換は未履修ですので、微分方程式を解くことになると思います。

回答No.4

el156 · ベストアンサー

> コンデンサC1とC2を合成して新たな１つのコンデンサCとして考えた時に、そのコンデンサCに電圧E2=E×C_1/(C_1+C_2)が充電されているというこでしょうか？

その通りです。
スイッチ投入直前は、C_1の電荷がE x C_1、C_2の電荷は0で、この合計が私の式の左辺になります。
右辺は新しいコンデンサ(C_1+C_2)に蓄えられている電荷なので、E2 x (C_1+C_2)です。
或いはC_1とC_2にそれぞれE2 x C_1とE2 x C_2が蓄えられる、と理解していただいても構いません。
常にまず「電荷」を頭に描いていただいた方が理解が深まると思います。
電荷を時間で微分したものが電流、電荷を蓄めると電圧が上昇するのがコンデンサで、比例係数が静電容量です(Q=CV)。
結果として初期電圧E2は、おっしゃる通り、E2=E×C_1/(C_1+C_2)となります。

お礼

再びお答えいただきありがとうございました。
計算に時間がかかりましたが、何とか解くことができました。
本当にありがとうございました。

回答No.3

el156

とても良い(意地悪な?)問題だと思います。「電荷」を主眼において考えると良いです。
まず、t<0のときC_2がどういう状態にあるかを決めなくてはなりません。C_2はスイッチの所で回路が開いていますので、C_2の電荷は何処にも定義されていません。従って何かの値に決める必要があります。例えば仮にC_2の電荷の初期値が(E x C_2)クーロンならば、スイッチをONしても何も変化しません。それれではつまらないので、C_2の電荷の初期値を「0」と仮定して次を考えます。
この場合、No.2の方が説明されているように、t=0の時、スイッチをONするとC_1の電荷がC_1とC_2に「瞬時」に分配されます。スイッチをONした瞬間に静電容量はC_1から(C_1 + C_2)に増加しますが、その前後で電荷は増減しないはずです。分配直後のCの電圧をE2とおけば、E x C_1 = E2x (C_1 + C_2)からスイッチをON直後の初期電圧E2が算出できます。その後の挙動は微分方程式で解けると思いますので省略します。
ここで電荷が「瞬時」に分配される…ということは、C_1からC_2に向かって無限小の時間に無限大の電流が流れるわけです。C1,C2,Eを適当な数値に設定して、スイッチをONする直前と直後でC_1とC_2に蓄えられているエネルギー(1/2) x CV^2を計算してみてください。もっと面白いことに気づかれると思います。

お礼

ご解答ありがとうございます。
＞分配直後のCの電圧をE2とおけば、E x C_1 = E2x (C_1 + C_2)からスイッチをON直後の初期電圧E2が算出できます。
これは、コンデンサC1とC2を合成して新たな１つのコンデンサCとして考えた時に、そのコンデンサCに電圧E2=E×C_1/(C_1+C_2)が充電されているというこでしょうか？

回答No.2

foobar

コンデンサC1,C2の電荷q1,q2を考えて、dq1/dt=i1, dq2/dt=i2, ∫i1dt=q1,∫i2dt=q2の関係を使って、q1,q2の微分方程式にして解く。
其の後、電荷を微分して電流を計算する、という手順でも可能かと思います。
ただし、t=0で電荷の再配分がおきるので、その分を考慮して初期値を設定する必要があるかと思います。

お礼

ご解答ありがとうございます。
t=0における電荷の再配分はどのように考えたらよいでしょうか？
初期状態t=0でC1とC2ともに電圧がE-R(i1+i2)かかっているとして考えていけばよいでしょうか？
最終的にはC1、C2ともに電圧がEになるまで充電されるとは思うのですが、最初の状態がイメージしにくいです。

回答No.1

noname#145525

他にも質問をされているようですが、どちらかというと数学の範疇です。
全体をｔで微分し、微分演算子をDとすると
(aD^2+b)i=0
の形に表されます。これは定数係数の２階線形微分方程式と呼ばれ解法が確立されてます。
(1)Dの部分をｘに置き換えてｘの方程式ax^2+b=0として、解をα、βとする
(2)i=k1exp(αt)+k2exp(βt) k1,k2 初期条件より定まる

お礼

ご解答ありがとうございます。
せっかくお答えいただいたのですが、この解法は難しそうですので、またの機会に使わせていただきます。