コンデンサーの問題

質問

------R-------C-------
｜　　　　　　　　　　　　　｜
｜　　　　　　　　　　　　　｜
---スイッチ---e-------
この回路における問題です。t=0でq=0。e=Emsin(ωt+Φ)

この回路の電荷qに対する回路方程式は次のようになりました。

e=Rdq/dt + q/C

この方程式を解いて、電流iを求めたいのです。eが交流なので、tで積分しなければならないのでしょうか？それとも、定電圧Emと見なして解いてもよいのでしょうか？できれば式で説明お願いします。

回答No.1

torahuzuku · ベストアンサー

今日は。電気回路を独学中の者です。私の使っている教科書からの抜粋ですが、私の理解した範囲で参考になるでしょうか？

定電圧Emと見なした時は、直流V=Emを加えた時ということになり、途中の計算式は省略しますが、
　i=dq/dt=(V/R)e^(-t/CR)　となるのではないでしょうか？

交流　v=Vmsin(ωt+θ)　を加える時は、スイッチを入れるタイミングによって、過渡現象が起きる場合と起きない場合があります。回路の微分方程式を
　Rdq/dt+q/C=Vmsin(ωt+θ)　と置く。 eをv,EmをVm,Φをθに変えさせていただきました。
この回路の時定数(T)は、T=RC　ですから、Aを任意定数として、過渡解をqtと置くと、qt=Ae^(-t/RC)…(1) です。
次に、この回路の定常解(qsとします。)を求めてみます。
まず、この回路のインピーダンスをZとすると、
　I=V/Z,　Z=R+1/jωＣ=z∠-ψ　　∠-ψ はZの偏角です。　　
　z=√｛R^2+(1/ωC)^2｝,　tanψ=1/ωCR となります。
なお、I,V,Zはそれぞれ位相も含んだ実効値です。zはZの大きさです。
よって、Cの両端の電圧Vcおよびこれに蓄えられる電荷Qは、それぞれ
　Vc=I/jωC=(1/jωC)*V/Z=V/ωCz∠(ψ-π/2)
よって、 Q=CVc=V/ωz∠(ψ-π/2)
従って、電荷の瞬時値(=qs)は大きさがV/ωzで、位相角はVよりもψ-π/2進んでいるので、
　qs=(Vm/ωz)sin(ωt+θ+ψ-π/2)=(-Vm/ωz)cos(ωt+θ+ψ)…(2)
よって、一般解qは式(1)と(2)の和として、
　q=qt+qs=Ae^(-t/RC)+(-Vm/ωz)cos(ωt+θ+ψ)
初期条件として、t=0 で q=0 を用いると、
　A=(Vm/ωz)cos(θ+ψ)
∴q=(Vm/ωz)[-cos(ωt+θ+ψ)+cos(θ+ψ)e^(-t/RC)]
∴i=dq/dt=Vm/z[sin(ωt+θ+ψ)-tanψcos(θ+ψ)e^(-t/RC)]
t=0の瞬間の電流は[i] は、
[i]=(Vm/z)[sin(θ+ψ)-tanψcos(θ+ψ)=Vmsinθ/(zcosψ)=(Vm/R)sinθ　これは過渡現象の起きる時です。
過渡現象の起こらない条件は、ψ+θ=90゜の時です。
この条件の時、i=(Vm/z)cosωt　となって過渡現象は起きません。独学ですので間違えて理解しているかもしれません。より詳しくはご専門の方にお願いします。