コンデンサの問題

質問

次の考え方が合っているかわかりません。間違っている可能性が高いと思いますが、ご指摘願います。

面積Aの円盤コンデンサがある。コンデンサに加わる電圧がV＝ｖsin(ωｔ)のとき、次の問いに答えよ。コンデンサの容量はCとし、漏れ電流はないとする。
（ヒント：マクスウェルの方程式を用いるとわかるかも。）

(1)　コンデンサの電荷Qを求めよ。

Q＝CVより。Q＝Cｖsin（ωt）

(2)　コンデンサの極板周辺に閉曲面Sを考え、コンデンサ内に流入する電流を求めよ。

I＝dQ/dt　より、I=Cｖωcos(ωｔ)　しかし、閉曲面Sの意味はなんだ？

もう少し続きはあるのですが、ここでつまづいていては先に進んでもらちが明かないので割愛します。

特に(2)の解法が分からないので…ご教授お願いします。

回答No.1

Akira_Oji · ベストアンサー

(1)も(2)もあなたの解法でいいと思います。

（２）に関して、「閉曲面Sの意味はなんだ？」という問いに対しては、別の解法をする場合、コンデンサの「一方の」極板周辺に閉曲面Sを考え、「電荷の連続の式」を使います。

ところで、コンデンサの「一方の」極板周辺に閉曲面Sを考えるとき、コンデンサーに繋いである１本の導線がその閉曲面Sを横切っています。そして、その導線が電流Iを運んでいるわけです。さて、「電荷の連続の式」は電荷密度をρ、電流密度をJとすれば、
∂ρ/∂t=-∇.J

∇は日本では「ナブラ」といいます。∇≡(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)。右辺のマイナス記号「－」は、考えている閉曲面の外向きにプラスになるように考えています。この両辺を閉曲面S内の体積にわたって積分します。

∫∫∫ ∂ρ/∂t dv =-∫∫∫ ∇.Jdv

左辺は閉曲面が固定されていると考えているので、時間微分を外に出して(d/dt)∫∫∫ ρ dv　となりますが、積分部分は閉曲面内にある全電荷Qです。だから、ｄQ/dtとなります。

右辺は、ベクトル解析のガウスの定理を使って変形すると、
-∫∫ J.dS
となりますが、Jは電流密度ですから、「－」記号を考慮して、結局、閉曲面Sを通して、「入ってくる」電流Iです。

これらより、コンデンサーに「入ってくる」電流Iは　ｄQ/dt　に等しいことが分かりますので、

あなたのやられているように、
I＝-dQ/dt　より、I=-Cｖω　cos(ωｔ)
となります。ただし、ここでは、あえて「－」記号をつけておきました。これはIの向きが外向きに「＋」としたためで、コンデンサー上の電荷Qが時間的に増えているとき、dQ/dtが「プラス」になるので、Iは「マイナス」になり、電流がコンデンサーに向かって流れていることを表しています。

基本的にはあなたの解答でいいと思います。