電気回路の問題について

質問

電気回路の問題について質問させていただきます。

Q 電圧をかけてQ0の電荷を蓄えたコンデンサがある。このコンデンサーに低抗とスイッチが接続された回路(図1)がある。スイッチSをonにしたとき、コンデンサ極板上の電荷Q(t)が満たす微分方程式を求めよ。ただし、コンデンサーの静電容量をC、回路中の電気抵抗をRとする。

この問題で、コンデンサーを図2のように時間とともに電荷の減少することによって電圧が減少するV(t)電圧源のように考えて、回路には図2のように電流I(t)が流れ、それによって低抗にVR(t)という電圧が生じので、この回路方程式をたてると、

V(t) = VR(t)
となるので
Q(t)/C = R * I(t)
= R * dQ(t)/dt
1/Q(t) * dQ(t)/dt = 1/CR

となったのですが、この微分方程式を解くと

Q(t) = Q0 * exp(t/CR)

となってしまい、eの乗数が負でないので時間とともに電荷量が増え、
明らかにおかしな解になってしまいました。
おそらく答えは
Q(t) = Q0 * exp(-t/CR)
この考え方だとなぜ正しい答えが出ないのでしょうか？

また、問題とは関係ないのですが、コンデンサーに蓄えられていた電荷量は時間とともに減少していくと思うのですが、このコンデンサーに蓄えられてい電荷は、どこにいってしまったのでしょうか？
電荷が回路中から消えるということはないと思うので、疑問に思いました。

回答よろしくお願いいたします。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

> V(t) = VR(t)
> となるので
> Q(t)/C = R * I(t)
> = R * dQ(t)/dt

この式が間違っています。一つ目の式はよいのですが、二つ目の式が電流の向きとQ(t)の増減を勘違いしているようです。

I(t)>0だと電荷が流れ出ているためQ(t)は減少します。
つまり、
dQ(t)/dt=-I(t)
とマイナスの符号が付くのです。

ですのでQ(t)の微分方程式は
Q(t)=-R*dQ(t)/dt
となります。

> また、問題とは関係ないのですが、コンデンサーに蓄えられていた電荷量は時間とともに減少していくと思うのですが、このコンデンサーに蓄えられてい電荷は、どこにいってしまったのでしょうか？

コンデンサには二つの極板があります。それぞれに+Q,-Qの符号が異なる電荷が蓄えられていてその総和は"0"です。
電流が流れることでプラス側の極板に蓄えられた電荷とマイナス側に蓄えられた電荷が中和し最終的にすべて消えます。

お礼

非常にわかりやすい回答ありがとうございます！
理解することができました！