電気回路(過渡現象)についての質問です。

質問

図のような回路において、時刻t=0においてスイッチの位置をNから1に切り替え、さらに時間が十分に経過した後(t=Tとする)で、1から2に切り替えた。以下の問いに答えよ。ただし、R1、R2は抵抗、Cはコンデンサ、Eは直流電圧源である。
またv1(0)=v2(0)=0とする。

（１）スイッチの位置を1から2に切り替える直前の電圧ｖ１はいくらか？
　　V1=E (定常状態だから？)
　　もしくはV１= Ｅ（１－ｅ^-T/cr1）

（２）スイッチの位置が2にあるとき（t>T）の、電圧ｖ２（ｔ）に関する回路方程式（微分方程式）を求めよ　
　　この方程式の立て方がわかりません。
　　R2i+V2=V1 となるとおもうのですが，ここからどのようにしてiとV1を消してV2の微分方程式をたて　　　るのかがわかりません・（たぶん i =dq/dt , q=CV2より R2i = C*dV2/dt ） V１はどのようにしたらい　　いのかがわかりません。

(３)スイッチの位置が2にあるとき（t>T）の、電圧ｖ２（ｔ）よ電流i(t)を求めよ。
　　(2)で式をたてれないため解けません。すいません。

回答No.3

rnakamra · ベストアンサー

> q1+q2=q1(t)=CEですよね？
すみません。また間違った。ご指摘の通りです。

> v2(T)というのは0でいいのですか？

問題にv2(0)=0となっています。つまり、t=0の時右側のコンデンサに蓄えられた電荷は"0"ということになります。
0<t<Tの間に右側のコンデンサに電流は流れこまないため電荷量は変化しません。
ですのでv2(t)=q2(t)/C=0 (0<t<T)が成り立ちます。
電荷量は連続的にしか変化しませんのでv2(T)=q2(T)/C=0　が成り立ちます。

お礼

ありがとうございます。分かりやすい解説でした。

回答No.2

rnakamra

#1のものです。

> q1= C*V1, q2=CV2ではないでしょうか？
間違った。回答者のご指摘の通りです。

> 初期条件としてi(0)の値はどうなるのでしょうか？
正確にはi(T)となりますが、t=TのときV1(T)=E,V2(T)=0ですのでi(T)={V1(T)-V2(T)}/R　の関係からi(T)が得られます。

> 問いではV2(t)に関する微分方程式を求めるよう指示されています
q1+q2=q1(T)=E/C
の関係式を使い、V1/C+V2/C=E/C →V1+V2=E が導けます。この式を使いV1=E-V2とし(A)式に代入するとV1を消去できます。

R2*i+V2=E-V2
R2*i=E-2*V2

i=dq2/dt=C*dV2/dt ですので、この式はそのままV2の微分方程式になります。

補足

たびたびすいません。

q1+q2=q1(T)=E/Cの関係式というのは電荷量不変則をしようしているのですね？たぶん同じ間違いをしていると思うのですが，q1+q2=q1(t)=CEですよね？そこから，CV1+CV2=CE→V1+V2=E→V1=E-V2（結果的には同じになりました。）

よってV2(t)だけの微分方程式は，

CR2*dV2/dt+2V2=E　

となることはわかりました。ここで僕はいつもラプラス変換を用いて微分方程式を解いているのですが，

CR2(sV2(s)-v2(T))+2V2(s)=E/s

となったときに。v2(T)というのは0でいいのですか？
CV1(T)+CV2(T)=CE　→　CE+CV2(T)=CE (V1(T)=E)
上式よりV2(T)=０ということから導きだしたのですがあっていますか？

回答No.1

rnakamra

(1)
V1=E　とみなしてよいでしょう。十分時間がたてばR[1-exp{-T/(CR1)}]との誤差はほとんど"0"となります。

(2)
R2i+V2=V1 (A)の式は正しいでしょう。
左側のコンデンサに蓄えられた電荷をq1,右側のコンデンサに蓄えられた電荷をq2とおくと
V1=C*q1 (B),V2=C*q2 (C)
となります。
さらに
i=-dq1/dt=dq2/dt (D)
の関係が成り立ちます。

(A)に(B),(C)を代入すると
R2*i+C*q2=C*q1 (E)
(D)を使えるように(E)の両編を時間微分する。
R2*di/dt+C*dq2/dt=C*dq1/dt (E')
(E')に(D)の式を代入するとiに関する微分方程式が得られます。

補足

ちょっと質問があるのですが，q1= C*V1, q2=CV2ではないでしょうか？
それによって(E)式は　R2*i+q2/C=q1/C。左式の両辺を微分して，(D)式を代入すると，R2*di/dt+2/c*i=0とすると電流iに対する微分方程式がでることはわかります。ただこれを解いていくときに初期条件としてi(0)の値はどうなるのでしょうか？i(0)=0なのでしょうか？あとすいませんが問いではV2(t)に関する微分方程式を求めるよう指示されています。そちらのほうもわかるのであれば回答よろしくおねがいします。