微分方程式の解き方

質問

f"(t) = (1/ω(t)) ω'(t) f'(t) - (ω(t)^2) f(t)
（ここで、" は二階微分、' は一階微分です。）

この微分方程式をf(t)について解きたいのですが、解けるのでしょうか？

この微分方程式を満たすf(t)を、ω(t)を含む関数として表すことは出来るのでしょうか？
言い換えると、この方程式をf(t)について解くと、ω(t)を含む式になるでしょうか？

ω(t)の具体的な形は決まっていません。

どなたか教えていたか教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.1

pascal3141 · ベストアンサー

(1/ω(t)) ω'(t)=A(t),(ω(t)^2) =B(t)として
ご存じかも知れませんが、微分を１回微分にすることはできます。
f"(t) = A(t)f'(t) - B(t)f(t)
ここで、f'(t)=f(t)Z(t)とおいて代入。
左辺=f'Z+fZ'=fZ^2+fZ'
右辺=AfZ-Bf
なので、両辺fで割って
Z^2+Z'=AZ-B
Z'=AZ-B-Z^2
というように、一つ微分を下げることができます。
ただ、ここからは、係数A,Bがtの関数なので一般的にはできません。
A,Bが定数なら簡単ですが。