電磁気学の問題です

質問

キャパシタンスC、自己インダクタンスL、抵抗Rが直列に接続された回路（スイッチ有・スイッチは今開いた状態）がある。この回路のスイッチを閉じた後の電流は、Rが小さいとき、どのように流れるか？電流　I(t)　を求めよ。なお、初期条件として、キャパシタンスに蓄えられている電荷を±Q(t=0)＝Q_0、回路に流れる電流を I(t=0)=０　とする。

しばらく考えていたのですが、解き方が思いつきません・・・＞＜；
どなたか教えてください。　お願いしますm(_ _)m

回答No.1

tomochin630 · ベストアンサー

見やすくする為、時間についての1回微分を『'』、2回微分を『"』で表しますね。

コンデンサ、コイル、抵抗にかかる電圧をそれぞれ、
Vc,Vl,Vr とすると、直列なので、キルヒホッフの法則より、

　Vc + Vl + Vr = 0　・・・(1)

コンデンサに電荷Qが蓄えられている時の電圧は、

　Vc = Q/C　・・・(2)

コイルに電流Iが流れて発生する誘導起電力は、

　Vl = LI'　・・・(3)

抵抗に電流Iが流れた時の電圧は、

　Vr = RI　・・・(4)

コンデンサに蓄えられている電荷の変化率が電流なので、

　I = Q'　・・・(5)

(2)(3)(4)(5)を用いて(1)をQについて表すと、以下の式になります。

　Q/C + LQ" + RQ' = 0 ・・・(6)

整理して、

　Q" - 2γQ' + ω^2Q = 0 ・・・(7)

ここで、γ=R/(2L)、ω=1/√(LC)です。
(7)をQについて解くために、

　Q(t)=exp(-γt)・g(t)・・・(8)

と置き、(7)に代入してg(t)の満たすべき式を求めます。

　(g" +(ω^2 - γ^2)g)*exp(-γt) = 0

より、

　g" +(ω^2 - γ^2)g = 0 ・・・(9)

これが、g(t)の満たすべき式になります。
抵抗Rが十分小さい場合は、γ < ω となるので、

　λ^2 ≡ ω^2 - γ^2

とおくと、(9)は振動数λの単振動の方程式になります。
初期条件は、
・Q(0)=Q_0より、g(0)=Q_0、
・I(0)=0より、Q'(0)=g'(0)-γg(0)=0、即ち、g'(0)=γQ_0
なので、

　g(t) = Q_0・(ω/λ)・cos(λt - α) ・・・(10)

を得ます。ここで、α=arctan(γ/λ)です。
(10)を(8)に代入して、(5)より時間微分すると、

　I(t) = -Q_0・(ω^2/λ)・exp(-γt)・sin(λt)

となります。
ただし、γ=R/(2L)、ω=1/√(LC)、λ=√(ω^2 - γ^2)です。

お礼

非常にわかりやすい回答ありがとうございます！！
よく理解できました！