答えが気になる回路の問題

質問

・抵抗とインダクタンスの直列回路の電流が知りたいのです（周波数はω（オメガ）として）

V=√VR^2+VL^2　と
V（電圧）=XL（インダクタンス）×A（電流）と
XL=2πfL（周波数L）　から

A=2πωLぶんの√VR^2+VL^2　　
でいいのでしょうか？答えがなくて迷ってるのですが・・。

・また、RとX(=ωL)の値が等しいときR-Lの直列回路の位相関係は４５度ですけど、なぜこれがいえるのでしょうか？

お願いします(m_m)

回答No.2

Umada · ベストアンサー

複素数を用いたインピーダンス計算の方法を知っていれば話は早いのですが、まずそれを使わずに考えてみます。(私も最初は複素数を使わない計算から入りました)
問題で既知の量はω、L、R、Vの4つでよいでしょうか。
また以下の計算では電流をIで示し、また添字を_Rのように表現することにします。

インダクタンスLに交流を流す場合、電圧と電流の位相が90°ずれる(電圧の位相が進んでいる)ことはご存じですよね。
ベクトル図はご存じですか?　電圧と電流の位相関係を示す図で、インダクタンスの場合の例を図1に示しました。反時計回りで先んじているものほど「位相が進んでいる」と言います。

インダクタンスにかかる電圧V_L
↑
│
│←90°
│　│
┿━━→電流I

図1　インダクタンスのベクトル図

さて抵抗Rでは電圧と電流の位相は一致します。敢えてベクトル図に書けば

　電流I
┿━━→━━→抵抗にかかる電圧V_R

図2　抵抗のベクトル図

となります。うまく描きにくいのですが二つのベクトルが重なっている様子を思い浮かべて下さい。

さてご質問の直列回路では、インダクタンスに流れる電流＝抵抗に流れる電流＝全電流Iです。そこで図1,2を電流Iが一致するように重ね合わせて描いてみます。V_LとV_Rが90°ずれることに留意して下さい。

インダクタンスにかかる電圧V_L
↑　　　　●←全体の電圧V
│
│←90°
│　│
└────→抵抗にかかる電圧V_R

図3　合成インピーダンスのベクトル図

全体にかかっている電圧Vは●で示した点に対応します(等幅フォントでご覧ください)。
三平方の定理から明らかなように、V=√(V_R^2 + V_L^2)の関係があります。

さてmattsu555さんも既にご承知のように
V_L=I×ωL
V_R=I×R
の関係がありますから、これを当てはめます。すると
V=√[I^2×{(ωL)^2+R^2}]
=I×√{(ωL)^2+R^2}
となります。I=の式に直せば
I=V/√{(ωL)^2+R^2}
です。これが答えです。

ωL=Rであれば図3でV_LとV_Rの大きさは等しいことになり、この場合VとI(IはV_Rと位相は同じ)の位相差が45°になることは自明です。

mattsu555さんの解答では、Vを異なった二つの意味に使っているために答えが合わなくなっています。
最初の
V=√VR^2+VL^2
では、Vは「回路全体にかかる電圧」を示していますが、次の
V（電圧）=XL（インダクタンス）×A（電流）
ではVは「インダクタンスの両端にかかる電圧」を示すことになっています。当然、最初の式のVとは異なった物理量です。2番目の式のVはV_Lと表現すべき電圧です。

なおご質問の文を拝見しますと、周波数fと角周波数ωもどうもごっちゃになっている感じがします。両者の関係は2πf＝ωであり、混同されませんよう。

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最後に複素数を用いたインピーダンスの計算のやり方も示しておきます。(ご存じかとも思いますが、電気の世界では虚数単位にjの文字を当てるのが習慣です)　これを使うとベクトル図を描かずに、リアクタンスを抵抗と同じように扱って計算することができます。

コイルのリアクタンス　X=jωL (j×2πfL)
抵抗との合成インピーダンス　Z=R+X=R+jωL

インダクタンスと抵抗の全体にかかる電圧がVであるなら、電流Iは
I=V/Z
である。上記の値を当てはめて
I=V/(R+jωL)
=V(R-jωL)/{R^2+(ωL)^2}　←分母分子に(R-jωL)を掛け、分母を実数にした
電流Iの大きさを知りたければ、複素数の絶対値の定義から
|I|=V√{R^2+(ωL)^2}/{R^2+(ωL)^2}
=V/√{R^2+(ωL)^2}
と計算される。(当たり前ですが、上と同じ答えになります)

RとωLが同じ場合の位相については
I=V(R-jR)/(2 R^2)=V(1-j)/2R
で、実部と虚部の大きさが同じであるから、VとIは位相が45°(π/4)だけずれている。

回答No.1

mmky

参考までに

電流をI=A*sinωt とすると　：ω=2πf
抵抗RとインダクタンスＬの直列接続の両端の電圧 E は、
E=RI+L{dI/dt} ですね。
L{dI/dt}=L{d(A*sinωt )/dt}=ωL{A*cosωt}=ωL{A*sin(ωt+π/2)}
E=R{A*sinωt}+ωL{A*sin(ωt+π/2)}
{sinωt}と｛sin(ωt+π/2)｝は90度の直交関係ですね。
だから電圧の大きさは、直角三角形の長辺の求め方と同じで、
Ｅ=I*√{R＾2+(ωＬ)＾2}
直列のインピーダンスの大きさ|Z|=*√{R＾2+(ωＬ)＾2}
抵抗とリアクタンス分の位相差θは、
θ=tan-1(ωＬ/R)
ωＬ=R のときは、θ=tan-1(1)=45度
ということですね。

参考程度に