集合の濃度について

質問

集合の濃度について2つ質問があります．

1つ目の質問ですが，例えば，
A={1,2,3,3,3,4} という集合があった場合，この集合の濃度は
|A|=6 と解釈されるのでしょうか？それとも|A|=4と解釈される
のでしょうか．後者は3が3つあるので1つに省略すると解釈．

2つ目の質問ですが，例えば
A={1, 1/3, 3/9, 8/24} という集合があった場合，この集合の
濃度は，|A| = 4 と解釈されるのでしょうか？それとも 1/3 と
3/9と 8/24 の実体は同じと考えて，|A|=2 と解釈するので
しょうか？

集合の濃度について勉強したときに，上記のことをうまく説明
してくれる本がなく，このような質問をしています．

回答No.1

boiseweb · ベストアンサー

次の質問に対する私の回答（#5/ベストアンサー）の第2～3段落を読んでください．それがそのまま1つめの質問の答えになっているはずです．

集合のユニークな要素数の数式表現について
http://okwave.jp/qa/q6412594.html

2つめの質問は，「1/3 はAに属する，しかし 2/6 はAに属さない」ということは起こりうるか？ と考えてみれば，すぐに答えが出ると思います．

お礼

ご回答ありがとうございました．

今，自然数と有理数の濃度の比較について勉強していて，
http://www4.airnet.ne.jp/tmt/tourmj/tour04.pdf
などを拝見していました・・・

1 と 2/2 と 4/4 の実体が同じとして扱っていった場合，
ズバリそのものの全単射写像がどのようなものになるのか
うやむやになっており・・・
1 と 2/2 と 4/4 を別物として取り扱うことができれば
非常に明解なのにと思っていました．

結局，「無限なので」というところでお茶をにごされて
いるような気がしていますが・・・難しいものですね．

とにかくは，ご回答誠にありがとうございました！

回答No.5

alice_44

前回質問 http://okwave.jp/qa/q6412594.html で貴方が何のレスポンスもしなかった
A No.4 No.6 にも、A={1,2,3,3,3,4} のとき |A|=4 であることは明記してあります。
解釈云々の問題ではなく、これが |A|=6 になるような「濃度」の定義はありません。

一方、A={1, 1/3, 3/9, 8/24} のほうはよく知られた悪問で、
A の定義に補足が無いと、|A| の値については意見が割れます。
初学者にこれを出題したとすれば、出題者の理解度が問われることになるでしょう。

A={1,2,3,3,3,4} のとき |A|=6 ではなく |A|=4 になるのは、
{ } 内に現われる 3, 3, 3 が同一だからです。
A={1, 1/3, 3/9, 8/24} の場合、1/3, 3/9, 8/24 が同じか異なるかが問題になります。
これらは、有理数としては同じだが、分子と分母の対としては異なる。
分数として同じかどうか…という際に、そのどちらを意味しているのか？
ひいては、分数とは何か？ という問題をはらんでいるのです。

算数指導法や教育心理学の問題は横に置くとしても、
A={1, 1/3, 3/9, 8/24} と書くとき、A をどのような全体集合の中で考えているかという点は、
いちいち書かないまでも、訊かれれば即答できる程度には意識しておかなければなりません。
集合を内包的に定義する際は無論のこと、外延的に定義する際にさえ、
この点から逃れることはできない…ということは、知っておくべきです。

お礼

ご回答ありがとうございました．
かなり深淵な問題のようですね．
考えれば考えるほど，（自分の理解力不足のためか）
難しくなってくるような気がいたします．

回答No.4

jmh

Ａ＝｛１，２，３，３，３，４｝、Ｂ＝｛１，２，３，４｝、Ｃ＝｛１/１，４/２，９/３，１６/４｝は、同一の集合の異なる表示だと思います（Ａ＝Ｂ＝Ｃ）。同一の集合の濃度は等しいと思います（｜Ａ｜＝｜Ｂ｜＝｜Ｃ｜）。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88#.E5.A4.96.E5.BB.B6.E6.80.A7.E3.81.AE.E5.8E.9F.E7.90.86

お礼

回答ありがとうございました！

回答No.3

boiseweb

「自然数集合と有理数集合の間の全単射は具体的に作れるか？」（単に有理数集合が可算であることの証明だけでよしとするのでなく）という疑問はもっともで，実はちゃんとそれを考えた人がいます．

M. Aigner, G. M. Ziegler 著 "Proofs from THE BOOK" (Springer)
（邦訳：蟹江幸博 訳 「天書の証明」（シュプリンガー・フェアラーク東京））

の第17章 "Sets, functions and the continuum hypothesis" に，すべての正の有理数がちょうど1回ずつ出現する数え上げの具体的な構成法が書かれています．

お礼

貴重な情報ありがとうございます．

本日，図書館に行ってみたところ，日本語版の本が見つかりましたので，
早速借りてまいりました．日本語版では第15章の集合，関数，連続体仮説
のところを，ひもといてみましたが・・・すでに見たことのある
図を使った形式で，全単射ずばりそのものではなく，ちょっとお茶を濁
したような形の説明になっており，まだ，もやもやが解消されない感じです．

英語版は，まだ入手できていないので，そのうち必ず手にいれて，この
もやもやを解消したいと思っています．

回答No.2

Tacosan

一般に 2つの集合 A, B に対して A から B への全射があれば A の濃度は「B より小さいことはない」ということがわかります. なので, 「A から B への全射」と「B から A への全射」の両方を作ることができれば A と B は同じ濃度になります.
だから, ここでは重複するものがあってもかまわないのです.

お礼

ご回答ありがとうございます．
別の方の回答に対するお礼においても記述させていただいているのですが，
今，自然数と有理数の間の全単射写像の構成を具体的に考えていて・・・
どんな数式で表せばよいものか，いまだ謎の状況です．

とにかくは，本当にお忙しいところ，ご回答ありがとうございました．