集合，集合族が分かりません。

質問

いくつかまとめて質問させてください。_は下の添え字又は下につく文字を表します。例えば，log_10 100=2
1. A={x;p(x)}ですが，解釈は「ＡはＰを満たすxの集合」であってますよね…？

2. テキストに次のように書いてあります。
{X_α;α∈J}において，和集合及び共通集合を各々「∪_α∈J Xn」，「∩_α∈J X_n」と表す。
全く意味が分からないのですが，例などを交えて幼稚園児にも分かる程度に説明をお願いします。
集合族が集合を要素とした集合ということは知ったのですが，上の表記が理解できません。

3. 2.と被るかもしれませんが，授業の板書では以下のように書いてありますが，これも理解できません。
α∈Jを満たすようなX_α…？良く意味が分かりません。
　J∋α→X_α
　А(アー) ≡ {X_α;α∈J}
※実際は≡ではなく，≡の一番下の線にチョンが入った記号が遣われています。

回答No.3

noname#130082 · ベストアンサー

1.は大丈夫だと思います。
2.について。
A∪BやA∩Bはふたつの集合の和、積ですよね。これを、無限個の集合でもできるように拡張したいわけです。この無限個はもしかしたら非可算無限かもしれません。
ということで、Ｊという集合（添え字集合）がいきなり出てきます。Ｊの要素の個数（濃度）だけ集合があった場合の和、積を定義するわけです。
ですから、
{X_α;α∈J}
は、単に、天下り的にＪの要素αに対してX_αという集合がとにかく決まっているものとする、というだけで（J∋α→X_α がたぶんそういう意味ではないかと）、それ以上の意味はないと思います。分かりにくかったら、何か全体集合Ｕがあって、写像f:Ｊ→（Ｕの冪集合）が与えられた、と思ってもいいです。
∪_α∈J X_α　＝ {x; ∃α（α∈Ｊ,x∈X_α）}
∩_α∈J X_α　＝ {x; ∀α（α∈Ｊ,x∈X_α）}

3.
А（アー）はロシア文字かな？　≡の一番下の線にチョンは分かりませんが、単に「右辺をАと定義する」という意味かもしれません。

回答No.2

rabbit_cat

最初を何を書いてあるのか意味がわからなかったのですが、やっとわかってきました。
＞_は下の添え字又は下につく文字を表します。
ていうのは、いいんですが、どこまでが添え字で、どこからが本来の大きさの文字なのか、非常にわかりずらいです。括弧をつけといてくれるといいと思います。

１．合ってます
２．まず、確認ですが、Ｘ_α は集合ですよね。ということで、
{X_α;α∈J}は集合族（集合を要素とした集合）ということでいいですね。
また、∪_α∈J Xn　は、∪_(α∈J) X_α ということですよね。（α∈Jまでが添え字、Ｘの添え字はnじゃなくてαだと思うんだけど）
だとすると、これは、
∪{X_α;α∈J} （すべてのX_αの和集合）を、∪_(α∈J) X_α と書くこととにした、
という定義を書いてあるだけです。定義なんで、そうですか、と思うしかありません。
同様に、すべてのX_αの積集合を、∩_(α∈J) X_α と書くことに決めた、と言ってます。

３．意味がわかりません。Аは、∀のこと？
「アー」ってのは何ですか？心の叫び？
＞ ≡の一番下の線にチョンが入った記号
この記号に、一般的に決まった意味があるわけではないので、多分、授業の最初のほうで、この記号がどういう意味か、定義しているはずです。ノートの前のほうに書いてない？

回答No.1

naozou

> A={x;p(x)}ですが，解釈は「ＡはＰを満たすxの集合」であってますよね…？

pとPがどんなものかよくわかりませんが、たぶんあってます。

> 2. テキストに次のように書いてあります。
幼稚園児にもっていうのは、質問の内容からしてちょっと・・・ですね。
どんな説明を期待しているんでしょうか。

Jは添え字集合というものです。
X_1, X_2,... とすればJとしては自然数でしょう。
X_みかん, X_りんご, X_バナナ,...とすれば、添え字集合は果物全体、みたいな感じです。
ここでは、普通よく使う自然集の添え字集合よりも抽象的な添え字集合を考えています。
イメージがわかなければ、Jを自然数と思ってもらえればいいとおもいます。
U_n∈N Xn となって、普通に何個かの集合Xnの和集合となります。

> 3. 2.と被るかもしれませんが，授業の板書では以下のように書いてありますが，これも理解できません。

それだけでは、何ともいえないんですが、集合族を定義しているだけじゃないですか？
添え字集合として、Jをもってきて、その集合族をAとしている、と。あと使われている記号はたぶん、定義記号ですね。ただ「チョン」なのかな、三角記号かもしれませんよ。先生が最初に記号の説明をしてくれたかもしれません。
してくれていなかったら、記号の意味は聞いても恥ずかしくないです。