広義積分について
- 広義積分について原始関数が求められない場合、収束を示す方法は関数を挟んで評価することです。
- ベータ関数の収束条件はxと(1-x)の指数が-1より大きいことです。
- ガンマ関数の収束条件はxの指数が-1より大きいことです。
- ベストアンサー
広義積分について
広義積分で、具体的に原始関数が求められないとき、それが収束することを示すには、やはりその関数を挟んで評価すればいいのでしょうか? たとえば、ベータ関数の収束はxと(1-x)の指数共に-1より大きいことが必要十分条件であることやガンマ関数の収束はxの指数が-1より大きいことが必要十分条件であることなどはどのように示すことができるでしょうか? また、少し話は変わりますが 1/(x^n*(1-ax))や1/(x+(x^2+x+1)^(1/2))の原始関数は、初等関数で書き表すことは可能でしょうか? 面倒な計算などはこちらで解決しますので、方針だけでも示して頂けると、大変助かります。よろしくお願いします。
- kottaro
- お礼率32% (29/88)
- 数学・算数
- 回答数4
- ありがとう数2
- みんなの回答 (4)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
#1です。御免なさい、具体的な関数形があったんですね。 挟み撃ちの簡単な例として、まずsinx/xのx→0の極限をあげます。挟み撃ちするためには、何か使えそうな関数を探す必要があります。例えばy=xなんかで挟めれば好都合です。それで、y=xとy=sinxのグラフを描いてみると、添付画像のようになります。そして、x=0近傍でのsinx/xの有界単調連続ですが、x≠0で連続関数/連続関数なので、結果は連続(本当は証明必要)。常にsinx<xで、どちらも単調増加なので、割った結果は単調(本当は証明必要)。有界性は、sinx<xなので、 0<sinx/x<x/x=1 が成り立ちます。x→0では、 0≦lim sinx/x≦1 となり、lim sinx/xは存在します。lim sinx/x=1は、極限の存在を前提として、細かい極限計算を行えば出てきます。 例えばΓ関数ですが、まず添付画像で定義を確認して下さい。今度は積分の原始関数相手なので、積分して使えるものを探します。以下が最良の方法とは限りませんが・・・。 最初にzを1以上の整数として、定義の積分で、e^(-t)を先に積分する部分積分をz回行うと、(1)になります。 次に、任意の-1<α<1に対して、(2)を考えます。(2)は、任意の実数-1<zでΓ関数を考えるのと、同じ意味です。z回部分積分します。右辺を評価すれば良いのがわかります。評価式は(3)と(4)です。 (3)は0<α<1の時,(4)は-1<α<0の時です。よって広義積分は存在します。 (4)より、α≦-1では、以上の話は成り立ちません。でもα≦-1で発散する事を言うには、別途証明が必要です。しかも結果は、z+α≦-1となる「任意の整数z+αだけ」で発散します。 なので、これ以上はこだわらない方が無難と思えます。複素関数の範囲でやってるなら別ですが。
その他の回答 (3)
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
>1/(x+(x^2+x+1)^(1/2))の原始関数は、初等関数で書き表すことは可能でしょうか? 可能です。 ∫1/(x+√(x^2+x+1))dx =√(x^2+x+1)-ln|2√(x^2+x+1)-x+1|-x+2ln|x+1|-(1/2)sinh^-1((2x+1)/√3)+C
- nag0720
- ベストアンサー率58% (1093/1860)
1/(x^n*(1-ax))の原始関数は部分分数に分解すれば求められます。 1/(x^n*(1-ax))={1+ax+(ax)^2+(ax)^3+・・・+(ax)^(n-1)}/x^n+a^n/(1-ax)
広義積分とは、積分区間の端点(±∞含む)で被積分関数の挙動が怪しいものの事、という前提で書きます。 上記定義(?)で良ければ、積分区間の端点を除けば原始関数は存在し、当然微分可能で連続という事になります。 微分可能な連続関数の一番大事な性質は、局所的に有界単調連続という性質だと思います。この性質を利用すると、関数の定義区間の端点まで、連続性を保ちながら関数を延長できます。つまり定義区間の端点で、関数が定義されていなくても、その点を穴埋めできる訳です。定義区間が有界なら、一様連続にもなるはずです。 よって積分区間の端点を除いた原始関数に対して、有界単調連続を示せば大抵は片付きます。で、示し方ですが、特に有界性から結局は「挟み撃ち」になりますので、「挟んで評価」は一般的な話だと思います。 後半は、面倒そうなので止めましたが^^;、岩波公式集などで調べる事をお奨めします。岩波公式集で片付かないなら、たぶん初等関数では駄目です。
お礼
なるほど、やはり挟み撃ちですか。 ですが、ベータ関数やガンマ関数をどんな関数で評価すればいいのか検討がつきません・・・ ありがとうございました。
関連するQ&A
- 広義積分の問題です。
広義積分の問題です。 int_0^∞[ x^(2b) / (1 + x^(2a) ] dx が収束するためのa,b(>0)の条件はなにか? 積分の原始関数が分かりません。 x^(2b)=yと置換しても上手くいきませんでした。。 どなたかお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義積分の問題を教えてください。
fとgを区間I=(0,∞)で定義された連続非負関数で、この区間で広義積分可能であるとします。 さらに、 f(x)→0 (x→0) xg(x)→0 (x→∞) を満たしているとき、 lim[n→∞] n∫f(x)g(nx)dx = 0 (積分区間はI) が成り立つことを示したいです。 以下のように積分区間を0から1,1から∞にわけて、 それぞれ評価しようとしましたがうまくいきません。 具体的には、 J=n∫f(x)g(nx)dx とおいて、 J= n∫f(x)g(nx)dx + n∫f(x)g(nx)dx (最初の項を(1) 2つめの項を(2)として) (1)の積分区間は0~1 (2)の積分区間は1~∞ (1)において、g(nx)が非負なので、平均値の定理から、 (1)=nf(Cn)∫g(nx)dx となるような、nに依存する値 Cn∈[0,1]が存在。 nx=tと置換すれば、 (1)=f(Cn)∫g(t)dt (積分区間は0からnに変化) というキレイな形になり、 ∫g(t)dt は、gが広義積分可能なことから、有限値に収束。 このままf(Cn)が0に収束してくれれば良いんですが、 Cnは [0,1]上 特に性質なくいろんなところをとりえます。 だから、Cnが単調減少して、仮定の条件をつかって クリア!みたいなことにはならないのです。 根本的に方針が違うのだと思うのですが、 どなたかヒントでもいいので教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 広義積分に関する問題
v(x)はx≧0上の正値の連続関数で、x≧0上の関数u(x)を、 u(x)=∫[0,x] v(t)dt で定義します。また、条件、 lim[x→∞] u(x)=∞ が成立するとします。このとき、実数値をとるパラメータaを含む広義積分 lim[R→∞] ∫[1,R] (u(x)^a)v(x) dx の収束、発散を調べよという問題なのですが、方針がまったく立ちません。 どなたか、ヒントもしくは、アドバイスを頂けないでしょうか? よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 広義積分の問題です。
αは実数とする。次の広義積分が収束するためのαに関する条件を求めよ。また、収束するときは、その値を求めよ。 ∬log(x^2+y^2)/(x^2+y^2)^α dxdy {0<x^2+y^2≦1} というものです。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
分数式が出てきたら、部分分数分解・・・定石ですね。でも、こんな変形は自分では思いつきません。何か手がかりはあるんでしょうか?正直、あまりにもきれいなので感動してしまいました。ありがとうございました。 ほかの質問事項にも是非答えて頂けると大変ありがたいです。