- ベストアンサー
急いでいます。
- みんなの回答 (1)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
(1) Xは連結である R=X⊃A≠φ,X-A≠φ,A開とすると X-A閉,X-(X-A)=A≠φ,X≠X-Aだから|X-A|有限 ∞=|X|=|A|+|X-A|だから|A|=∞ X-A≠φ,X≠A,|A|=∞だからAは閉でないから 開&閉となるものはX,φ以外にないから Xは連結である (2) Xはハウスドルフ空間でない Xがハウスドルフ空間であるとすると Xの任意の相異なる2点x,yについて U∩V=φ,x∈U開⊂X,y∈V開⊂X となるU,Vが存在する。 X-U閉,x∈U=X-(X-U)≠φ,X≠X-Uだから|X-U|有限 X-V閉,y∈V=X-(X-V)≠φ,X≠X-Vだから|X-V|有限 X=(X-U)∪(X-V)だから ∞=|X|≦|X-U|+|X-V|=有限となって矛盾だから Xはハウスドルフ空間でない (3) Xはコンパクトである X=∪_{λ∈Λ}G_λ,G_λ開⊂X,{G_λ}_{λ∈Λ}を任意のXの開被覆とすると a∈Xに対してa∈G_λ_aとなるG_λ_aがある X-G_λ_a閉,a∈G_λ_a=X-(X-G_λ_a)≠φ,X≠X-G_λ_aだから|X-G_λ_a|有限 |X-G_λ_a|=|{x_k}_{k=1~n}|=n有限 {x_kに対してx_k∈G_λ_kとなるG_λ_kがある}_{k=1~n} X=(∪_{k=1~n}G_λ_k)∪G_λ_a {G_k}_{k=1~n}∪{G_λ_a}は有限開被覆となるから Xはコンパクトである
関連するQ&A
- 位相数学について再び質問です
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2686308.htmlで質問したものです。 また自分なりに考えた解答を添削&教えてください。 問1-1)(X、Ox)(Y,Oy)を位相空間とする X × Yの直積位相とは何か? これがさっぱりわかりません。 問1-2)XとYがハウスドルフ空間ならば、X × Yもハウスドルフ空間であることを示せ。 これもさっぱりです。たぶん問1-1を使うと思います。 問2)(X、d)を距離空間とする 距離dの定めるXの位相Odの定義とはなにか? これもわかりません、どういう意味でしょうか?位相Odが距離空間の定義を満たすということでしょうか? 問3)Xがコンパクトで、A⊂Xが閉集合ならAもコンパクトであることをしめせ。 Xがコンパクトだから、Xの任意の開被覆が必ずXの有限被覆を部分集合として含んでいる。ここまではいいと思います。たぶんAがコンパクトでないと仮定して矛盾を示すと思います。これ以上がどうしてもわからないです。
- 締切済み
- 数学・算数
- 位相空間の本で
読んでいてあまりわからない所が2点ありまして、 1.XにXのすべての部分集合を開集合とする位相を入れると、 Xの部分集合Cがコンパクト ⇔ Cが有限集合 という部分と、 2.Xをコンパクトハウスドルフ空間、Yをハウスドルフ空間とするとき、 写像f:X→Yが全単射連続なら逆像f-1:Y→Xも連続になる という部分に疑問が残りました。 1.については、コンパクト⇒閉集合であることや、Cが有限集合なら有限個の開被覆で覆えるからコンパクトである、ということが使える(?)のではじめの「XにXのすべての部分集合を開集合とする位相を入れる」部分が必要ないのではないかとも思うのですが・・・ 2.については、Xがコンパクトハウスドルフ空間ならその部分集合Cもコンパクトでその写像はやっぱりコンパクトで・・・その逆像もコンパクトで・・・・? どこから連続の議論に持っていけばよいのかが分かりませんでした。 「証明は読者に委ねよう」というお得意の言い回しで飛ばされてしまっていて、なんだか消化不良のままです>< ご返答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 位相について初心者なのでよろしくお願いします。
実数全体の集合Rの二つの部分集合族θ1={U⊂R|R-Uは有界集合}、θ2={U-R|0はRに入らない}に対して、θ=θ1∪θ2としたとき(空集合φは有限集合とする。)にθがRの位相空間であることを定義に基づいて行うときに、一つ目のX∈θかつφ∈θ(φは空集合)は明らかだと分かったのですが、残りの2つの導き方がイマイチ分かりません。 導き方を教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- n次元球面はn次元位相多様体であることを示せ。
S^n={x∈R^(n+1)│∥x∥=1} はn次元位相多様体となることを示せ。 S^nはn次元球面 R^(n+1)は(n+1)次元数空間 多様体の勉強をしています。「位相空間Mがハウスドルフ空間であり、なおかつMの任意の点pについて、pを含むm次元座標近傍(U,φ)が存在するとき、Mはm次元位相多様体である」という定義はわかっているのですが、証明ができません。 R^(n+1)がハウスドルフ空間であること、ハウスドルフ空間の部分空間もまたハウスドルフ空間であるという知識は既知として使っていただいてかまいません。(はずかしながら、座標近傍の存在を示すプロセスが思いつかないのです。)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- これはハイネ-ボレルの定理の矛盾?
こんにちは。 『(ハイネ-ボレルの定理)コンパクト位相空間Xの任意の閉集合Aはコンパクトである』 というのを本で見かけました。 『実数空間Rの閉区間[a,b]はコンパクトである(ハイネ-ボレルの定理)』というのも見かけましたので「なるほど、Rはコンパクト位相空間だから[a,b]はコンパクトになるんだなあ。」 と思っていましたら その後に 『[例] 実数空間Rにおいて、R及び、開区間(a,b)はコンパクトでない事を証明せよ』 とも書いてありました。 Rは位相空間ですがコンパクトでなくても閉区間[a,b]はコンパクトになるのですか? 何かおかしくないですか? ハイネ-ボレルの定理に詳しい方ご解説をお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ハウスドルフについて
Xをハウスドルフ空間、Yを位相空間とする。 また、X,Yが位相同型であるとすると、Yはハウスドルフ空間であるか? ということを考えています。(位相同型:f:X→Yが全単射であって、f,f-{-1}が連続となる fが存在するとき)。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 位相空間
位相初心者です。次の問題がよく分かりません。 問.実数直線R1の位相をTとする。 BをTに各無理数についてそれだけを元とするRの部分集合を すべてつけ加えたRの部分集合族 B=T ∪ {{x}:x∈P} とする。このBにおいて生成されたR上の位相T_Mに対して、 位相空間(R,T_M)をMで表す。 このMについて、次を求めよ。(証明付きで。) (1) i(Q)、i(P) (iは内部を表す。) (2) Qの閉包、Pの閉包 (1)は、Qは有理数全体の集合だから、Qに含まれるMの開集合全体の 和集合は、Φ となる。 (2)も同様に、Qを含むMの閉集合全体の共通集合はQである。 こんな感じでいいのでしょうか。もっと適当な証明があれば、 教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 商空間とハウスドルフ空間
初めて投稿させていただきます。言葉足らずな点も多々あるかと思いますがよろしくお願いいたします。質問したいのは以下の問題です。 通常の位相を持った数直線Rから原点0を除いた位相空間をXとする。X上の2点に対しして。関係~をx‘~x⇔n∈Zが存在してx‘=2^nx (←2のn乗とxの積です)として定義する。商集合X/~をYとおく。次の各問に答えよ。 (1)π;X→Yを写像とするとき、Y上の商位相の定義を述べ、πが連続であることを示せ。 (2)Yは第2可算公理を満たすことを示せ。 (3)商空間Yはハウスドルフ空間になることを示せ まず(1)はできました。次に(2)なのですがこれはちょっとやり方がわからず困っています。可分な位相空間であることを示して第2可算公理を満たすという感じにすれば良いのでしょうか?できれば模範的な解答を示していただければ嬉しいです。それと最後に(3)なのですが、まったくわからず・・・という状態です。これも解答していただければ助かります。解答を他人任せにしていることに申し訳なさを感じているのですが、どうしてもこの問題だけは理解したいと思います。ですからどうかお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の位相の問題が分かりません。詳しい方、教えてください。
数学の位相の問題が分かりません。詳しい方、教えてください。 ハウスドルフ空間において、一点だけからなる集合は閉集合となることを示せ。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
理解できました。 ありがとうございました。