急いでいます。

質問

急いでいます。

実数全体の集合X=R(実数)の位相を次のように定める。Xの閉集合全体は、空集合、X自身、およびXの有限部分集合全体から成るとする。このとき次の問いに答え、その理由を述べよ。

(1)Xは連結か？
(2)Xはハウスドルフ空間か？
(3)Xはコンパクトか？

よろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

(1)
Xは連結である
R=X⊃A≠φ,X-A≠φ,A開とすると
X-A閉,X-(X-A)=A≠φ,X≠X-Aだから|X-A|有限
∞=|X|=|A|+|X-A|だから|A|=∞
X-A≠φ,X≠A,|A|=∞だからAは閉でないから
開&閉となるものはX,φ以外にないから
Xは連結である

(2)
Xはハウスドルフ空間でない
Xがハウスドルフ空間であるとすると
Xの任意の相異なる2点x,yについて
U∩V=φ,x∈U開⊂X,y∈V開⊂X
となるU,Vが存在する。
X-U閉,x∈U=X-(X-U)≠φ,X≠X-Uだから|X-U|有限
X-V閉,y∈V=X-(X-V)≠φ,X≠X-Vだから|X-V|有限
X=(X-U)∪(X-V)だから
∞=|X|≦|X-U|+|X-V|=有限となって矛盾だから
Xはハウスドルフ空間でない

(3)
Xはコンパクトである
X=∪_{λ∈Λ}G_λ,G_λ開⊂X,{G_λ}_{λ∈Λ}を任意のXの開被覆とすると
a∈Xに対してa∈G_λ_aとなるG_λ_aがある
X-G_λ_a閉,a∈G_λ_a=X-(X-G_λ_a)≠φ,X≠X-G_λ_aだから|X-G_λ_a|有限
|X-G_λ_a|=|{x_k}_{k=1～n}|=n有限
{x_kに対してx_k∈G_λ_kとなるG_λ_kがある}_{k=1～n}
X=(∪_{k=1～n}G_λ_k)∪G_λ_a
{G_k}_{k=1～n}∪{G_λ_a}は有限開被覆となるから
Xはコンパクトである

お礼

理解できました。
ありがとうございました。