図形の証明問題です

質問

図形の証明問題です
任意の四角形ABCDの各辺の中点を頂点とする四角形PQRS(これは平行四辺形になります）の面積がもとの四角形ABCDの半分になる事を証明せよ

回答No.3

noname#189285 · ベストアンサー

線AC、線BDを引き、その交点をXとします。

平行四辺形PQRSは元の四角形ABCDの辺の中点を結んでいることから、辺PQと辺RSは上記BDと平行、辺QRと辺SPは上記ACと平行となります。

ここで三角形ADXの領域に関して考えます。

三角形APZとPDYは三辺が平行でAP＝PDなので合同(＝同面積)です。

三角形APZと四角形PZXYは、辺PZと辺XYが平行で同じ長さ、かつ辺AZと辺ZXは同じ長さであるので、面積は1:2となります。

従って、三角形APZとPDYの面積の合計＝四角形PZXYの面積となります。

以上は他の三領域でも同様の為、

四角形PQRSの面積＝四角形ABCDの面積-四角形PQRSの面積

と言えます。

従って、四角形ABCDの面積は四角形PQRSの面積の2倍となります。すなわち四角形PQRSの面積は四角形ABCDの半分となります。

以上です。

お礼

ありがとうございます
図もあって分かりやすかったのでベストアンサーにします

回答No.2

Quattro99

△BPQの面積は△BACの面積の1/4、△DRSの面積は△DCAの面積の1/4なので、△BPQと△DRSの面積の和は四角形ABCDの面積の1/4です。以下省略します。

回答No.1

Kules

対角線ACで図形を２つにわけ、対角線ACとPS,QRの交点をM,Nとします。
△ABCが四角形PQNMの倍であることを証明します。
中点連結定理やら平行線と比やらを使うと、△ABCは四角形PQNMと比べて、
底辺２倍、高さ２倍であることがわかります。
で、三角形の面積求める時は÷２をするので、確かに２倍です。
同様のことを△CDAと四角形NRSMでも言えるので、証明終わり。

参考になれば幸いです。