幾何学の質問です。平行四辺形であることを証明したいです。

質問

問：四角形ABCDの各辺の中点をEFGHとする。線分EG、FHが四角形ABCDを4等分するなら、ABCDは平行四辺形であることを証明せよ。

という証明問題なのですが、どう証明すればいいのかさっぱりです(ToT)

似たような証明問題の例↓
http://www.edita.jp/masanori432/one/masanori432149.html

は見つかったのですが、この問題とは別物みたいで・・・よろしくお願いします(>_<)

回答No.5

debut · ベストアンサー

No2です。
＞先に"ＥＦＧＨが平行四辺形である"ことを、証明しなければ
＞ならないのでしょうか？

その通りです。でも、それは簡単です。
△ＡＢＤで中点連結定理より、EH//BC,EH=(1/2)BC・・(1)
△ＣＢＤで中点連結定理より、FG//BC,FG=(1/2)BC・・(2)
(1)(2)から、EH//FG,EH=FG。１組の対辺が平行で長さが等しいので
四角形ＥＦＧＨは平行四辺形。よって、EO=GO,FO=HO。

お礼

私が添付した図で考えると、BCではなく、

△ＡＢＤで中点連結定理より、EH//BD,EH=(1/2)BD・・(1)
△ＣＢＤで中点連結定理より、FG//BD,FG=(1/2)BD・・(2)

BDですよね？

いやはや、debutさんのおかげで理解することができました(^_^;)
ありがとうございます<m(__)m>

回答No.4

toteccorp

四角形ABCDの各辺の中点をEFGHとする。線分EG、FHが四角形ABCDを4等分するなら,AEOHとEBFOとHOGDとOFCGは同じ面積なのです。
面積が同じなので、AHとBFは同じ長さ。

お礼

回答いただきありがとうございます。
なんとか理解できました(^_^;)

回答No.3

nattocurry

□ABCDの対角線(ACとBD)は、なぜ描かれてあるのでしょうか？

さて、証明ですが、

線分EG、FHが□ABCDを4等分する、ということは、線分EGが□ABCDを2等分し、線分FHが□ABCDを2等分する、ということでもあります。

ここは理解できますか？

すると、線分FHで2等分された、□ABFHと□HFCDは、同じ面積ということになります。

条件から、
線分AH＝線分HD
線分BF＝線分FC
線分BFと点Hの距離＝線分FCと点Hの距離
は明らかです。

□ABFHと□HFCDの面積が同じになるためには、

線分BFと点Aの距離＝線分FCと点Dの距離

である必要があります。

これが満たされると、

線分BF//線分AH
線分FC//線分HD

となり、

線分BC//線分AD

となります。

同様に、線分AB//線分DCとなります。

よって、□ABCDは平行四辺形。

お礼

「線分EG、FHが□ABCDを4等分する」＝「線分EGが□ABCDを2等分し、線分FHが□ABCDを2等分する」というのは理解できました！

線分BFと点Aの距離＝線分FCと点Dの距離

のとき、「□ABFHと□HFCDの面積が同じになる」理由もわかりました。

仮定から明らかなBF=CFに、AB=DCが加わればいいのですね。

問題はそれを、どう導くかですが・・・

回答No.2

debut

ＥＦＧＨが平行四辺形であることがいえれば、ＥＯ＝ＧＯです。
△ＡＨＯ＝△ＤＨＯ（底辺がＡＨ＝ＤＨ，高さが等しいので）
よって、仮定から△ＡＥＯ＝△ＤＧＯとなり、ＥＯ＝ＧＯなので
△ＡＥＯ、△ＤＧＯの底辺をＥＯ，ＧＯとすればこれらの高さは
等しい、つまり、ＡＤ//ＥＧ。
同様に、ＢＣ//ＥＧ。
よって、ＡＤ//ＢＣ。
同様にして、ＡＢ//ＤＣ。
したがって、２組の対辺がそれぞれ平行なので、四角形ＡＢＣＤは
平行四辺形。

お礼

なるほどです、「4等分」というのが鍵ですね！
△ＡＥＯ＝△ＤＧＯを導くには、4等分する必要がありますよね(^_^;)
ただ、次のＥＯ＝ＧＯなのですが・・・debutさんが冒頭に「ＥＦＧＨが平行四辺形であることがいえれば、ＥＯ＝ＧＯです。」と書いてくださっているように、ＥＯ＝ＧＯであることを示すため、先に"ＥＦＧＨが平行四辺形である"ことを、証明しなければならないのでしょうか？

理解力が乏しくてすいません、ＥＯ＝ＧＯに関して、お暇なときに再度ご回答いただければ幸いです(>_<)
よろしくお願いします<m(__)m>

回答No.1

toteccorp

向かい合う辺の長さが同じだと証明しては。

お礼

「向かい合う辺の長さが等しい」・・・で、証明できるのですか？
debutさんが回答してくださった「２組の対辺がそれぞれ平行」であることを証明する方法とは、また別のやり方なのですね！？

でもどうすればいいのでしょうか・・・もしよろしけば、解決の糸口をもう少し教えていただけないでしょうか(>_<)