平行四辺形であるための条件

質問

平行四辺形であるための条件を勉強しています。
その条件の一つで、教科書にはかかれてない条件で平行四辺形を証明したいと思います。

「四角形ABCDで、対角線の交点をOとするとき、AO＝CO、∠B＝∠Dならば四角形ABCDは平行四辺形であることを証明せよ。」

これを証明したいのですが、うまくできません。証明の解説をお願いします。

回答No.4

felicior · ベストアンサー

No.3の者です。
「大小関係に関わりなく」と書きましたが、それ以降はOD'＜OBの場合を想定した
書き方になってしまっています。また∠ABC＝∠ADCが抜けていました。
以下、書き直します。

半直線OB上にOD'＝ODとなる点D'をとり、これが点Bと一致することを示します。

OA＝OC、OD'＝OD、∠AOD'＝∠COD
より、二辺挟角相等により△AOD'≡△COD
同様に
△COD'≡△AOD
よって
∠AD'C＝∠ADC
仮定∠ABC＝∠ADCより、
∠ABC＝∠AD'C（いずれも劣角）　　…（１）

ここでOB≠OD'と仮定すると、その大小関係に関わりなく凹四角形ABCD'ができるので、
∠BAD'＞0、∠BCD'＞0　　…（２）

OD'＜OBの場合
凹四角形ABCD'の内角の和より、
∠ABC＋∠BAD'＋∠BCD'＋∠AD'C(優角)＝360゜　　…（３）
OD'＞OBの場合
∠ABC(優角)＋∠BAD'＋∠BCD'＋∠AD'C＝360゜　　…（３'）

（３）（３'）いずれの場合も、（１）および優角＋劣角＝360゜であることから、
∠BAD'＋∠BCD'＝0
となるがこれは（２）と矛盾する。
よってOD'＝OB

以上です。失礼しました。

回答No.3

felicior

半直線OB上にOD'＝ODとなる点D'をとり、これが点Bと一致することを示します。

OA＝OC、OD'＝OD、∠AOD'＝∠COD
より、二辺挟角相等により△AOD'≡△COD
同様に
△COD'≡△AOD
よって
∠AD'C＝∠ADC　　…（１）

ここでOB≠OD'と仮定すると、その大小関係に関わりなく凹四角形ABCD'ができるので、
∠BAD'＞0、∠BCD'＞0　　…（２）
そして内角の和より、
∠ABC＋∠BAD'＋∠BCD'＋∠AD'C(優角)＝360゜　　…（３）

（１）（３）および、
∠AD'C(優角)＋∠AD'C(劣角)＝360゜
であることから、
∠BAD'＋∠BCD'＝0
となるがこれは（２）と矛盾する。
よってOD'＝OB

これで、対角線を互いに２等分する条件につながりました。

回答No.2

nonlinia

６６歳の老人？ですが、若い日に戻って証明問題に挑戦します。
平行四辺形の条件として、質問者の挙げられている条件
ＡＯ＝ＣＯ、∠B＝∠D　から証明をしようとすると

　　三角形ＡＢＣと 三角形ＣＤＡにおいて
　　　辺　　　　　ＡＣ＝ＣＡ　（共通）
　　向かい合う角　　∠B＝∠D　
　　故に　　∴　△ＡＢＣ≡（合同）△ＣＤＡ

向かい合う三角形が合同であれば四辺形ＡＢＣＤは平行四辺形と言える。

これで正しいのではないでしょうか？

お礼

解答ありがとうございます。
　　三角形ＡＢＣと 三角形ＣＤＡにおいて
　　　　辺　　　　　　ＡＣ＝ＣＡ　（共通）
　　向かい合う角　　　 ∠B＝∠D　
ここまでは、分かりました。向かい合う角ではなく、仮定よりかなと思いますが。
しかしその後すぐに合同を示していますが、もう一つ要素が必要かと思います。それをどのように示せば良いのでしょうか？
解説お願いします。挑戦ありがとうございます。私も悪戦苦闘して分かりやすい証明を書こうとしていますが、なかなかかけません。助けてください。

回答No.1

opechorse

三角形の合同から対角が等しいことを証明

平行線と直線とのなす角は等しいから
おのおの平行であることが証明できる
→平行四辺形である
と証明できる

お礼

最速の解答ありがとうございます。
三角形の合同から対角が等しいことを証明と言うことですが、
どの三角形なのでしょうか？また、どのように示せば良いのでしょうか？
お願いします。