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平行四辺形であるための条件
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No.3の者です。 「大小関係に関わりなく」と書きましたが、それ以降はOD'<OBの場合を想定した 書き方になってしまっています。また∠ABC=∠ADCが抜けていました。 以下、書き直します。 半直線OB上にOD'=ODとなる点D'をとり、これが点Bと一致することを示します。 OA=OC、OD'=OD、∠AOD'=∠COD より、二辺挟角相等により△AOD'≡△COD 同様に △COD'≡△AOD よって ∠AD'C=∠ADC 仮定∠ABC=∠ADCより、 ∠ABC=∠AD'C(いずれも劣角) …(1) ここでOB≠OD'と仮定すると、その大小関係に関わりなく凹四角形ABCD'ができるので、 ∠BAD'>0、∠BCD'>0 …(2) OD'<OBの場合 凹四角形ABCD'の内角の和より、 ∠ABC+∠BAD'+∠BCD'+∠AD'C(優角)=360゜ …(3) OD'>OBの場合 ∠ABC(優角)+∠BAD'+∠BCD'+∠AD'C=360゜ …(3') (3)(3')いずれの場合も、(1)および優角+劣角=360゜であることから、 ∠BAD'+∠BCD'=0 となるがこれは(2)と矛盾する。 よってOD'=OB 以上です。失礼しました。
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- felicior
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半直線OB上にOD'=ODとなる点D'をとり、これが点Bと一致することを示します。 OA=OC、OD'=OD、∠AOD'=∠COD より、二辺挟角相等により△AOD'≡△COD 同様に △COD'≡△AOD よって ∠AD'C=∠ADC …(1) ここでOB≠OD'と仮定すると、その大小関係に関わりなく凹四角形ABCD'ができるので、 ∠BAD'>0、∠BCD'>0 …(2) そして内角の和より、 ∠ABC+∠BAD'+∠BCD'+∠AD'C(優角)=360゜ …(3) (1)(3)および、 ∠AD'C(優角)+∠AD'C(劣角)=360゜ であることから、 ∠BAD'+∠BCD'=0 となるがこれは(2)と矛盾する。 よってOD'=OB これで、対角線を互いに2等分する条件につながりました。
- nonlinia
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66歳の老人?ですが、若い日に戻って証明問題に挑戦します。 平行四辺形の条件として、質問者の挙げられている条件 AO=CO、∠B=∠D から証明をしようとすると 三角形ABCと 三角形CDAにおいて 辺 AC=CA (共通) 向かい合う角 ∠B=∠D 故に ∴ △ABC≡(合同)△CDA 向かい合う三角形が合同であれば四辺形ABCDは平行四辺形と言える。 これで正しいのではないでしょうか?
- opechorse
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三角形の合同から対角が等しいことを証明 平行線と直線とのなす角は等しいから おのおの平行であることが証明できる →平行四辺形である と証明できる
お礼
最速の解答ありがとうございます。 三角形の合同から対角が等しいことを証明と言うことですが、 どの三角形なのでしょうか?また、どのように示せば良いのでしょうか? お願いします。
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