平行四辺形になるための条件について

質問

平行四辺形になるための条件について、証明の仕方が分からず困っています。
　分かる方、おしえていただけると幸いです。

１．AB//DCとAO=CO（Oとは対角線の交点）
　　　　…答えは、条件になる
２．AB=DCとAO=CO
…答えは、条件になる
３．∠A=∠CとBO=DO
　　　　…答えは、条件になる
４．∠A＝∠CとAO=CO
　　　　…答えは,条件にならない

よろしくお願いいたします。

回答No.8

payForward · ベストアンサー

指摘になってしまいますが、#5の回答で
>*1,*2より△ABO=△BCO=△CDO=△DAO
の部分に飛躍があると思います。
∠A=∠Cの条件を使っていないので・・

正直証明になっているかわかりませんが、一応３の回答を
もっと綺麗な証明あるかもしれませんが。。。

直線CA上のOに対してA側に、OC=OC'となるように、C'をとります。
C'とAが同一になることを証明することで、OA=OC
となることを証明します。

まず、二辺とはさむ角が等しいことから、
△C'OB≡△COD △C'OD≡△COB
以上から、
∠BC'D=∠DCB
よって、∠BC'D＝∠BAD…*1

OA＜OC'と仮定すると
∠BC'D＜∠BADとなり*1に矛盾
よって、OA >= OC'

OA＞OC'と仮定すると
∠BC'D＞∠BADとなり*1に矛盾
よって、OA <= OC'

以上より、OA＝OC'となります。
よって、OA=OCとなることから、平行四辺形に

４の反例はいわゆるたこ型の四角形です。
BA=BC DA=DCとなるような

お礼

細かな証明、ありがとうございます。
とても分かりやすいです!!

回答No.7

kaz001

Ｎo６です。二辺侠角相当の間違いです。すみません。

回答No.6

kaz001

３）
BO=ODより線分AO,COはそれぞれ△ABD,△CDBの二等分線。よって△ABO=△AOD,△COB=△CDB・・*1
点B,Dから線分ACに垂線BE,DFをひく（E,Fを∠BEO,∠DFOが直角になるようにとる）と２線侠角相当により△BEO,DFOは合同。よってBE=DF。
よって△ABC=△CDA・・*2
*1,*2より△ABO=△BCO=△CDO=△DAO
・
・
・
あとはおまかせします。
多分あってると思います。間違ってたらご指摘おねがいします。

回答No.5

shkwta

No.2の(2)は取り消します。
No.3様の主張どおり(2)に反例があります。
直線L上に点F,D,O,E,Bをこの順にとり、FD=EB, DO=OEとなるようにします。
AB=AE=CF=CDとなるように、直線Lをはさんで反対側に点AとCをとれば、ABCDは(2)を満たし、かつ平行四辺形でない四角形です。

お礼

ありがとうございます。
３と４をもう少し詳しく教えていただけると幸いです。
すみません...

回答No.4

payForward

すみません、NO.3で訂正です。
>AO = CO
>AB = CD
>∠AOB = ∠COB
の部分ですが、最後は
∠AOB = ∠COD
の間違いです。

回答No.3

payForward

すみません、この答えは正しいものでしょうか？
それともakko-tenuさんが考えた回答でしょうか。

２についてなんですが、手元で考えると条件にならないような気がしてます。

平行四辺形ならば△AOBと△COBが合同にならなければいけませんが、
この三角形について言えるのは、
AO = CO
AB = CD
∠AOB = ∠COB
のみですよね？
この条件は合同な条件にはなりません。
二通りの三角形が考えられ（∠AOBが９０度より小さい場合のみですが）、
△AOBと△COBが違うタイプになるように図を書いてみると
条件がみたしながら平行四辺形にならない図ができると思いますが、
問題の認識を何か誤解してますでしょうか。

お礼

ありがとうございます☆
確かに、おっしゃるとおりだと思います。
確認してみます。

回答No.2

shkwta

(2)△ABDと△CDBが合同
(3)AB//DC を証明しあとは(1)と同じ
(4)反例を探す。ヒントは、合同な三角形を２つくっつけた形

お礼

回答ありがとうございました（＾＾）
もう少し詳しく教えていただけるとありがたいです。
よろしければおねがいいたします。

回答No.1

partita

１．
△ABOと△CDOが合同（1辺とその両端の角がそれぞれ等しい）
↓
ABとCDについて、向かい合う辺の長さが等しく平行なので、四角形ABCDは平行四辺形。

２以降…次の方どうぞ

お礼

分かりやすい回答、ありがとうございます★