高1 (a+b)の5乗×(a+b+2)の4乗 を展開したときのaの4乗

質問

高1 (a+b)の5乗×(a+b+2)の4乗 を展開したときのaの4乗×bの3乗の項の係数をもとめるんですが、答えは840です。やり方がよくわかりません、教えてください!!

回答No.3

OKXavier

一般的なやり方でやってみると

(5!/(p!q!))a^p×b^q
ただし、p+q=5　　‥‥(1)

(a+b+2)^4　の一般項は、
(4!/(u!v!w!))a^ub^v2^w
ただし、u+v+w=4　　‥‥(2)

これらの積をつくると、
(5!4!/(p!q!u!v!w!))a^(p+u)b^(q+v)2^w　　‥‥(3)

求めるのは、a^4b^3の項の係数だから、
p+u=4　　‥‥(4)
q+v=3　　‥‥(5)

(4)＋(5)から、p+q+u+v=7　　‥‥(6)
(1)を代入して、　u+v=2　　‥‥(7)

(2)から、4-w=u+v　　‥‥(8)

(7)(8)から、4-w=2　これより、w=2

ところで、(7)から、0≦u≦2
uで場合分けすると、

u=0（v=2）のとき、p=4,q=1なので、係数は、5!2!/((4!1!)(0!2!))×4C2×2^2=120
u=1（v=1）のとき、p=3,q=2なので、係数は、5!2!/((3!2!)(1!1!))×4C2×2^2=480
u=2（v=0）のとき、p=2,q=3なので、係数は、5!2!/((2!3!)(2!0!))×4C2×2^2=240

したがって、a^4b^3の係数は、
120+480+240=840
となります。