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位相 可算集合

Aを可算集合とする。このとき、次の条件(1)(2)(3)を満たすAの 部分集合族{A_n|n∈N}(Nは自然数とする)が存在することを証 明せよ。 (1)すべてのn∈NについてA_nは可算集合である。 (2)A=∪_n∈N(A_n) (3)n≠n'⇒A_n∩A_n'=Φ よくわかりません!! f:N×N→N の全単射とする。 A_n={f(n,m)|m∈N}とすればよい。 と使えばいい思っているんですが、どのようにしたら いいかわかりません!この先の解答を教えてください!! 経過もお願いします!!

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  • 回答No.6

Aを無限可算集合とすると無限可算の定義より τ:N→A,全単射となるτが存在する g:N×N→N , g(n,m)=(n+m-1)(n+m-2)/2+n とすると k∈N に対して j(j-1)/2<k≦j(j+1)/2 となる j がある n=k-j(j-1)/2 ,  m=j-n+1とすると 1≦n≦j , 1≦m k=j(j-1)/2+n=(n+m-1)(n+m-2)/2+n=g(n,m) →g全射 g(j,k)=g(n,m) とする →(j+k-n-m+1)(j+k+n+m-2)=2(n+k-1)→ n+m<j+k+1→n+m≦j+k →(n+m-j-k+1)(n+m+j+k-2)=2(j+m-1)→ j+k<n+m+1→j+k≦n+m → j+k=n+m →(n+m-j-k)(j+k+n+m-3)=2(j-n) → n=j , k=m  → gは単射 →g全単射 g:N×N→N 全単射と τ:N→A 全単射の合成写像 f=τg:N×N→A は全単射となる n∈N に対して A_n={f(n,m)|m∈N} とする (1)h|N→A_n,(m∈N→h(m)=f(n,m)) とすると  a∈A_n に対して a=f(n,m)=h(m) となる m があり → hは全射  fが単射だから h(j)=h(k) → f(n,j)=f(n,k) → j=k → hは単射  →hは全単射→A_nは無限可算 (2)fが全射だから  任意のa∈A に対して a=f(n,m)∈A_n となる n,m がある  → A=∪_{n∈N}A_n  (3) A_n∩A_{n'}≠φ とすると  a∈A_n∩A_k があり, a=f(n,m)=f(n',j) となる m,j がある  fは単射だから n=n' なお A_n={τ(n)} とすると A_nの濃度が |A_n|=1 有限となり  A_n は 無限可算でないから (1) が成立しない 可算の定義に有限を含めた場合 τ:N→A,単射となるτ が存在しないから (3)が成立しない f:N×N→N 全単射 とすると f(n,m)∈N≠A となるから A_n={f(n,m)|m∈N} とか f({n}×N)=A_n としても  A_n⊂N≠A だから (2)が成立しない

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  • 回答No.4

この問題が「エラトステネスの篩」の一般化と みなせることに気がつけば答えはすぐでしょ? まさか「エラトステネスの篩」を知らないってことはない? 本質的に「解答」ってのが使ってる全単射を 具体的に書き出せば具体的に一例を構築できる.

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質問者からの補足

「エラトステネスの篩」?????????????????????? どんな感じですればいいのですか?? あのやり方はよく理解できなくて 馬鹿な私でも分かりやすい解答をお願いはできないでしょうか??

  • 回答No.3

>そこでf({n}×N)=A_nとおけばいい それだと A_n ⊂ N ですね。いいわけがない。

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質問者からの補足

f:N×N→A  全単射fが存在する。 そこで、 A_n = {A(n)}とすれば (1)(2)(3)の条件を満たすから成り立つ。 こんな感じの解答でいいでしょうか?? 間違いと少し変でしたら修正をお願いします。

  • 回答No.2

>問題を解いてもらえませんか?? 解いたつもりで回答したので、この補足には少なからずショックを受けました。 >助けてください!!! 無理です。どこがわからないか、もっと詳しく補足すれば、もしかしたら回答できるかもしれません。

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質問者からの補足

N×Nは可算であるから f:N×N→N の全単射とする そこでf({n}×N)=A_nとおけばいい と教科書の解答に書いてありました。 本当にこれだけでいいのかと 論理な解答はないのかとおもい 質問しました!!

  • 回答No.1

>A_n={f(n,m)|m∈N}とすればよい。 >と使えばいい思っているんですが Aが何処にも出てこないから明らかに違いますよね。 全単射 τ:N -> A をもって A_n = {τ(n)}とすればいいだけのような気がしますけど。

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質問者からの補足

すみません! あまりよくわからないので 問題を解いてもらえませんか?? お願いします! 私の頭では理解できないので詳しくお願いします!! 助けてください!!!

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