• 締切済み
  • すぐに回答を!

位相 可算集合

Xを非可算集合とし、AをXの可算な部分集合とする。このとき、XとX-Aが対等であるときを証明せよ。 この問題の解答と経過を教えてください!! おねがいします!!

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数2
  • 閲覧数151
  • ありがとう数2

みんなの回答

  • 回答No.2
  • rinkun
  • ベストアンサー率44% (706/1571)

証明手順のヒントだけ 1.B⊆X-Aとなる可算部分集合Bが取れる 2.A∪BとBは対等である 3.2を利用してXからX-Aへの全単射を作成できる

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 位相 可算集合

    Aを可算集合とする。このとき、次の条件(1)(2)(3)を満たすAの 部分集合族{A_n|n∈N}(Nは自然数とする)が存在することを証 明せよ。 (1)すべてのn∈NについてA_nは可算集合である。 (2)A=∪_n∈N(A_n) (3)n≠n'⇒A_n∩A_n'=Φ よくわかりません!! f:N×N→N の全単射とする。 A_n={f(n,m)|m∈N}とすればよい。 と使えばいい思っているんですが、どのようにしたら いいかわかりません!この先の解答を教えてください!! 経過もお願いします!!

  • 位相 可算集合

    この問題の解答と途中式をおしえてください!! できれば全解をお願いします。 何度してもできません!! Aを可算集合とする。このとき、次の条件(1)(2)(3)を満たすAの 部分集合族{A_n|n∈N}(Nは自然数とする)が存在することを証 明せよ。 (1)すべてのn∈NについてA_nは可算集合である。 (2)A=∪_n∈N(A_n) (3)n≠n'⇒A_n∩A_n'=Φ

  • 可算濃度2

    Xを自然数全体集合Nの有限部分集合全体とするとき、|X|と可算濃度が同じである証明の仕方を、分かりやすく教えて下さい!

  • 回答No.1
  • funoe
  • ベストアンサー率46% (222/475)

おおよその流れは、、 X-Aは非可算集合なので、・・・・(要証明) 可算部分集合B⊂(X-A)がとれる。・・・・(要証明) AもBも可算集合なのでA∪Bも可算集合  ・・・(要証明?) 従って、(A∪B)~Bであり、 (A∪B)からBへの全単射fが存在する。  ・・・(要証明?) いま、 F:X→(X-A) を   x→f(x) x∈(A∪B)   x→x  それ以外 とすれば、FはX→(X-A)の全単射。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 可算であることの証明

    可算についてなのですが、次の2つがどうしても証明出来ません。 1.可算集合の無限部分集合は可算である 2.有理数a,bを端点とする開区間(a,b)全体の集合は可算である 一応濃度、可算集合については一通り勉強したのですが…。 言っている事はなんとなくわかるのですが、自分でいざ問題を解いてみる(証明してみる)と何をどう書いてよいのやらまったくのお手上げです。 きちんと理解できていないのが原因だと思うのですが、いろいろな本を読み漁ってもこの”集合論”という分野、いまいちピンときません。 どうか回答のほどよろしくお願いします。

  • 可算かどうか

    「XをN(自然数の集合)の有限部分集合全体の集合とするとき、|X|=アレフゼロ(可算濃度)となることを証明せよ」 を教えてください。 自然数Nと一対一対応もしくは、先頭から番号をつけていくことができるというような証明の仕方ではないのかなとは思うのですが、具体的な証明方法が思いつきません、教えてください。 よろしくお願いいたします。

  • 全順序集合Aが整列集合でない⇔Z(-)⊂A

    次の問題を解いているのですが…。 よろしくお願い致します。(i)の必要性の証明で困ってます。 [[問] 次の(i),(ii)を証明せよ。Z(-)を負整数全体の集合とする。 (i) 全順序集合Aが整列集合でない⇔Z(-)⊂A. (ii) Aが全順序集合且つAの任意の可算な部分集合が整列集合⇒Aは整列集合 [(i)の証] 十分性を示す。 A=Z(-)と採れば{2z;z∈Z(-)}⊂Aでしかもこの部分集合は最小値を持たない。 よってAは全順序だが整列集合とならない。 必要性を示す。 ∃B⊂A;minBが存在しない。その時,Z(-)⊂Aを言えばいいのですがどうすればいえますでしょうか? [(ii)の証] 対偶「Aは整列集合でないならば(Aは全順序集合でない∨(∃B⊂A;Bは可算だが非整列))」となる。 もし,Aが非整列ならAは全順序ではない場合もありうる。 もし,Aが非整列だがAは全順序の場合,∃B⊂A;(Bは可算∧minBが存在しない)でなければならない。これは,(i)の必要性よりZ(-)⊂A (Z(-)は可算)と言えるのでB:=Z(-)と採ればよい。 この時,B非整列なので(∵最小値を持たないBの部分集合としてBを採ればよい) Aが全順序集合且つAの任意の可算な部分集合が整列集合⇒Aは整列集合 が示せた。となったのですがこれで正しいでしょうか?

  • σ集合体

    集合 X Xのすべての部分集合を2^Xとする。 2^Xはσ集合体になることを示したいのですが、どのように証明すればいいでしょうか。教科書では明らかみたいですが....。 (σ集合体) 空集合 全体集合 は明らか。 補集合の示し方? 可算和集合の示し方? 

  • 有理数集合の濃度は非可算?!

    有理数集合の濃度は非可算?! 有理数集合Qの濃度は可算ですが、以下のように考えたところQ(の部分集合)が非可算無限集合になってしまいました。 どこが誤りかご教授願います。 正の有理数は素数のベキを用いて 2^α×3^β×…(α,β,…∈Z) で一意的に表される。 素数の個数は可算無限個なので Q+とZの可算無限個の直積が一対一対応する。 このときZも可算無限集合なので、可算無限集合の可算無限直積で非可算無限集合になる。 よってQ+は非可算無限集合である。

  • 可算無限についてお願いします

    集合Xが有限集合の時、 ∪{Xの、要素数kの部分集合を全て集めた集合}  (k=0,1,2…|X|) は、Xのべき集合(2^X)と同じものですよね。 でも集合Xが有限集合ではなく、自然数の集合Nであった場合、 ∪{Nの、要素数kの部分集合を全て集めた集合}  (k=0,1,2…) は可算無限であり、Nのべき集合(2^N)は非可算無限だと聞きましたが、 その違いはいったいなぜ起こるのですか? ※ 集合Y(≠∅ )に対し f:Y→2^Y となる全射が存在しないので、X=Nとすることで2^Nが非可算である事は理解しています。

  • 集合と位相の教科書

    以下のような問題を解けるようになりたいです。できるだけやさしい教科書、参考書、問題集を教えてください。問題集は解説が詳しいものがいいです。 1.集合X,Yと、Xの部分集合A,Yの部分集合Bについて次の等式を証明せよ X×YーA×B=[(X-A)×Y]∪[X×(Y-B)] 2.デデキンドの切断を用いて 2および√5を切断をもちいて表せ 2<√5を切断をもちいて証明せよ 3.sorgenfrey直線Sのなかの2つの部分集合A,Bについてnot(A∩B)≠notA∩notBとなるようなA,Bの例をあげ、その理由を説明せよ 4.命題p_nを-nより小さい、命題q_nをnより大きいとさだめ、Rの部分集合An={x∈R:(p_n∨q_n)(x)が真}とおくとき、 ∪{An:n∈N} ∩{An:n∈N} をもとめよ 5.{a_n}^∞_(n=1)をQのなかのコーシー列とする。bn=a_n+1/2n(n=1,2,...)とおくとき {bn}^∞_(n=1)はQのなかのコーシー列であることを証明せよ {a_n}^∞_(n=1)~{bn}^∞_(n=1)(同値)であることを証明せよ

  • 集合・位相

    集合・位相初心者です。 授業で開集合と閉集合、近傍の定義を教えてもらったのですが、理解できず、困っています。 以下は、授業で使っているプリントに載っている定義です。 X:集合 T:Xの部分集合からなる集合族 (X,T):位相空間 とする。 Xの部分集合UがTの元であるとき、Uを開集合という。 また、Xの部分集合Fの補集合がTの元であるとき、Fの閉集合という。 点x∈Xに対して x∈U゜ を満たすXの部分集合Uを近傍という。また、このような近傍全体のなす集合族をxの近傍系といい、U(x)で表す。 具体的な例で教えて頂けると助かります。 例えば、集合X={1,2,3,4,5}、位相T={φ,{3},{4},{3,4},{1,3},{1,3,4},X}として、位相空間(X,T)をつくると、この(X,T)の開集合、閉集合、点3の近傍(点は適当に選びました)はどうなるのか。 集合・集合は初心者なので、詳しく教えて頂けると嬉しいです。 ご教授、よろしくお願い致します。

  • "無理数全体の集合から実数全体への全単射が存在する"の証明の説明をお願いします。

    次の問題の解答で分からないところがあるので説明をしてもらいたいです。 問: 無理数全体の集合からRへの全単射が存在することを証明せよ 解: R-Q から R への全単射の存在を示せばよい R-Q は無限集合であるから、可算部分集合 A が存在する ここで Q は可算集合なので、A∪Q は可算集合 よって全単射 f: A→A∪Q が存在するので 関数 g:R-Q →Rを     g(x)= { x (x∈R-A)         〔 f(x) (x∈A) と定義すると g は全単射である ■ 最後のところで、なぜgを上のように定義すると全単射になるのかがわかりません。 よろしくおねがいします。

  • 可算無限集合のベキ乗が可算無限でないことを対角線論法で証明する。

    http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AF%BE%E8%A7%92%E7%B7%9A%E8%AB%96%E6%B3%95 をみているのですが、 わかりません。 証明 背理法による。全単射 ψ: X → 2^X が存在したとしよう。X の部分集合 A を だいたい可算無限の意味がよくわかりません。 お願いします。

専門家に質問してみよう