ラグランジェの微分方程式

質問

y=xp + x*√(p^2+1)　がどうしても解けません
クレロー型の y=xp + √(p^2+1) はどうにか解けたのですが
宜しくおねがいします

回答No.2

spring135

t=y/xとおくと
t=p+√(p^2+1)
√(p^2+1)=t-p
両辺２乗して
t^2-2tp-1=0　　　　(1)
y=txより両辺を微分して
p=xt'+t
(1)へ代入して
2xtt'+t^2+1=0　　(2)
u=t^2+1
とおくと(2)は
xu'+u=0
これは
(xu)'=0
故に
xu=c
u=c/x=t^2+1=(y/x)^2+1
よって
y^2=cx-x^2
QED

お礼

spring135さん　ありがとうございました
大変参考になりました
よく検討して次の一歩につなげたいと思います
また宜しくお願いします

maamioy

回答No.1

Knotopolog

＞y＝xp＋x*√(p^2+1)　がどうしても解けません

y＝xp＋x*√(p^2+1)　は，ラグランジュ型の微分方程式ではありません．
y＝xp＋x*√(p^2+1)　は，y＝x{p＋√(p^2+1)} の形になりますので・・・．
ラグランジュ型の微分方程式は

y＝xφ(p)＋ψ(p)

です．ただし，　　p≡dy/dx．
ラグランジュ型の微分方程式は両辺を　x　で微分することにより，
求積法で解けます．

お礼

Knotopologさん　ありがとうございました
確かにラグランジュ型の微分方程式ではありませんね
そのせいでしょうか、xとyはp=dx/dyと置いて求まったのですが
そこからpをどうしても消せなかったのです
もっと勉強してみます

maaamioy