三角比の発展問題

質問

x>1とする。三角形の３辺の長さがそれぞれx^2-1,2x+1,x^2+x+1であるとき、この三角形の最大の大きさを求めよ。
この問題に疑問を持ちました。
１つ
解説はわざわざ、三角形の成立条件に入れて確認していたんですが、
確認する必要性があるのはなぜでしょうか？？
実際、この問題が三角形でないとなったら問題自体が成りたたず、問題になりません。
よって、毎回三角形を確認する必要性はないですよね。

２つ
この問題を解く方針としては、まず最大角の大きさをしりたい。
よって、最大角の対辺は最大辺という性質を利用し、この文字のどれが最大辺なのかを判断。
ここまではわかるんですが、３辺全てｘが入っています。
今回はたまたま余弦を使ってｘがうまく消えただけですよね。
やはり、ｘが消えるからそれによってcosがわかるという判断の根拠は代入してみないとわかんないんでしょうか？？

回答No.1

info22 · ベストアンサー

１つ
>実際、この問題が三角形でないとなったら問題自体が成りたたず、問題になりません。
問題にならない答えと正しい答えが出てきた場合、数学では正しい答えを選択して答えとし、正しくない答えを理由をつけて排除しないといけない。
明らかに正しくない（不適）と分かる答えなら、問題ないですが、そうでない文字変数を含む式で辺の長さが与えられた場合は、求めた答えが正しいかどうか判断するためには、文字変数の取りうる範囲を求めておかないといけないね（これは三角形の問題に限った事ではないです。）。
それにより正しくない答えとそうでない答えを切り分ける必要があります。

２つ
最大辺を見つけるには、互いに比較するのが基本です。
三角形の条件
●3辺が正
x^2-1,2x+1,x^2+x+1
x>1と言う条件があるのですべての辺は正であることが分かる。
●一番大きい辺を見つける
3つの辺をグラフにしてプロットするとxの範囲で辺の大小関係が変わる。
y1=x^2-1
y2=2x+1
y3=x^2+x+1
(x>1)

y3-y1=x+2>0(∵x>1) ∴y3>y1
y3-y2=x^2-x=x(x-1)>0(∵x>1)　∴y3>y2
従って最大辺はy3=x^2+x+1　…(▼)

最大辺が分かったので最大角は最大辺y3=x^2+x+1に向かい合った角θと分かる。実際の角は余弦定理から求められる。
cosθ=(y1^2+y2^2-y3^2)/(2y1y2)
=-1/2 ∴θ=2π/3[rad]=120°（∵0<θ<π[rad]=180°）

>やはり、ｘが消えるからそれによってcosがわかるという判断の根拠は代入してみないとわかんないんでしょうか？？

一般的には、その通りです。しかし問題の作成者が消えるように問題を作っているということです。

しかし、解く場合は、
最大角は(▼)から明らかになっていますので、答えにxが入ってくるかに関係せず最大角θを求めることが出来るということです。
問題の作成者が、cosθの式からxが消えるよう問題を作ったに過ぎません。

補足

info22さん回答ありがとうごいざます。大切なことは問題作成者の意図を読むということなんですね。
最大角は(▼)から明らかになっていますので、答えにxが入ってくるかに関係せず最大角θを求めることが出来るということです。
この部分が引っかかります。
ありえないかとは思いますが、最大辺が明らかになっても余弦でうまくｘが消えなかったら（今回は消えましたが）Θは求められませんよね？？

回答No.2

info22

>この部分が引っかかります。
>ありえないかとは思いますが、最大辺が明らかになっても余弦でうまくｘが
>消えなかったら

xが消えるか、消えないかは、それは出題者の問題です。
消えない場合は出題者の出題ミスの可能性大ですね。

高校の数学の範囲であればxが残る場合
cosθ=f(x)
まで求めておけば良いかと思います。出題ミスであれば正解として扱ってくれるでしょう。

大学の数学の範囲であれば,0<θ<π[rad]なので
θ=cos^-1(f(x))
と答えを書けば問題ないはずです。
大学入試でもこのように書いておけば（たとえ出題ミスであっても）
正解扱いになるかと思います。