数Iの三角比について

質問

最近課題に追われ、ノート提出の必要が無い数学の時間を内職や睡眠に費やしてるうちにとうとう追いていかれました
授業に集中していない間に正弦定理に入ったのですが、どうしても理解できない部分があります　教科書にも書かれていません

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R　の公式で、例えばA=60度とすると
a/sin60を使って解を出すじゃないですか
教科書の例題ではその計算式のsin60の部分には√3/2を入れて計算しています
自分の疑問は何故そこに√3/2を入れるのか？です
sin60=√3/2というのは直角以外の角を与えると自然と残りの角も定まり、辺の大きさは関係無く全て相似になるという直角三角形の性質から出てきた数値でした
例題に出てくる三角形はどうみても直角三角形ではないです(てか他の角の角度がハッキリ出てます)
sinAというのは問いに出てくる三角形の角Aの正弦ではないのですか？
直角三角形でないとただ一つの角を定めても他の角が野放しになってしまって、結果辺の長さも好きな値を取れる筈なので三角形の数だけsinθがあるのでは？
正弦余弦の意味も良く分からない程頭悪いので出来るだけ分かりやすくお願いします

回答No.4

yorodu0120

＞sin60=√3/2というのは直角以外の角を与えると自然と残りの角も定まり、辺の大きさは関係無く全て相似になるという直角三角形の性質から出てきた数値でした

ここは、おっしゃる通りです。
三角関数は、直角三角形から導き出されます。

では直角三角形でない三角形で、三角関数を利用したい場合、どうするのか？
直角三角形を「自分で作る」必要があるのです。

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R、この「正弦定理」は教科書に証明が載っていると思います。
その証明をおさらいしてみてください。
補助線などを引いて、直角三角形を作り出していると思いますよ。

回答No.3

sanori

こんばんは。

sinなんちゃら、cosなんちゃら、tanなんちゃら　という三角比の値は、
どんな状況であっても変わらない普遍的なもの、
つまり、上記の「なんちゃら」の部分に特定の角度の数字をぶち込んだときに、
必ず同じ数値になるものだという約束事があります。
直角三角形の問題であろうが、そうでない三角形の問題であろうが、
関係がないのです。

他のことにたとえれば、
ｙ＝ｘ^2
という式があるとき、ｘに同じ数を代入する限りは、ｙの値は１種類しかない、というのと全く同じことです。

「必ず同じ数値になるものだという約束事」とは、具体的には、以下のようなことです。

まず、Ｘ－Ｙ座標系で、原点（０，０）を中心に、半径１の円を描きます。
これを、時計だと思ってください。
スタート地点は、１２時のところ（座標（０，１）のところ）ではありません。
３時のところ（座標（１，０）のところ）がスタートです。
その３時のところが、θ＝０　です。

そこをスタート地点として、時計の針とは逆の方向（左回り）でθを数える。
そして、
円周に沿ってθだけ移動したところのＸ座標をcos、Ｙ座標をsinとする。
それが約束です。

sin６０　は、３時をスタートしてから、６０／３６０だけ進んだ（時計の文字盤の数字で言えば、過去の時間にさかのぼる方向）ところなので、
時計の文字盤で言えば、
３時　－　１２時×６０／３６０　＝　１時
のところです。

実際に、θ＝６０（文字盤の１時）のときの点を、紙に描いてみましょう。
その点をＰと呼ぶことにします。
Ｐから原点Ｏに斜めにまっすぐの線分ＯＰを引きます。
さらに、ＰからＹ軸に垂線を引きます。交わったところのｙの値が、sin６０の値です。

するとどうでしょうか。
角が９０°、６０°、３０°の直角三角形になりますが、
これは、正三角形をきれいに二等分した三角形です。
（三角定規の２種類のうちの１つと同じです。）

そして、sin６０（＝Ｙ座標）は、一辺の長さが１の正三角形の高さであることがわかります。
そしてまた、ＰからＹ軸に引いた垂線の長さは、正三角形の底辺の長さである１の半分なので、１／２です。

ピタゴラスの定理（三平方の定理）から、
ＯＰ^2　＝　１／２^2　＋ （sin６０）^2
ＯＰは、円の半径なので、
１^2　＝　１／２^2　＋ （sin６０）^2

よって、
sin６０ ＝　±√（１　－　１／４）　＝　±√３／２

図から、sin つまりＹ座標はプラスだとわかっているので、
sin６０　＝　√３／２
となります。
これが約束です。

sin６０　は、どんなことがあっても、必ず　√３／２　です。

以上、ご参考になりましたら。

回答No.2

faker02

これは図を書いたほうが分かりやすい
というか、図なしで説明するのが難しいんですけど
頑張って回答してみます。

sinAの出し方ですけど
△ABCにおいて、A=60゜のとき
底辺をACとして点Bから垂線BDを下ろします。
△ABDは直角三角形になっていて
2つの角が決まったので自動的に三つ目も確定します。
ここで単位円を当てはめます。
すると、原点Oに点Aを一致させると
AB=2、BD=√3から
全ての三角形においてA=60゜であれば
sin60゜=√3/2
となるのです。(この直角三角形をつくれば全て相似になるので)

…ちょっとわかりにくいかもしれません;;
これが限界です…ｗ

回答No.1

arrysthmia

それは、正弦定理で躓いているのではありません。
もっと早い段階で、三角比とは何か？が理解できていないのです。

sinA は、角 A だけで決まる値です。
角 A を持つ直角三角形を描けば、辺の比として見やすい形で現われますが、
別に直角三角形が無くても、角 A に対して定義されます。

慣れていなくて、直角三角形が無いと考えにくいのなら、
補助線を引いて直角三角形を作ればよいでしょう。
三角形 ABC なら、点 B から辺 AC へ垂線を引くとか。