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三角比の問題です
次の問題が、答えは分かるのですが綺麗な解答が得られません。 BC=3,CA=8,AB=10の三角形ABCにおいて、∠B:∠Cをもっとも簡単な整数比で求めよ。 ∠B=x, ∠C=ax とおいて余弦定理を駆使すれば、 cos(ax)=-9/16, cos(x)=3/4 が得られるので、あとはあてずっぽにaに2,3,4・・・と代入していくと、 a=3で成り立つので∠B:∠C=1:3 と一応分かるのですが、 とてもきれいな解答とは言えないので良いヒントをください!
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補足
その通りなんです。 ですが、それ以外の解法が思いつかないので試しにaが整数の場合を考えてみたところ答えが出てきてしまった、というだけの話であって… aが整数でない場合でも解けるような解法を知りたいと思っているのです。