三角比（長さと角度を求める）

質問

（問題）
△ＡＢＣにおいて、Ａ＝４５°、ｂ＝３＋√３、ｃ＝√６の時、ａ、Ｂ、Ｃを求めよ。

答えは、ａは２√３、Ｂは１０５°、Ｃは３０°です。
三角比の余弦定理、２辺と間の角が分かるので、ａ2=b2+c2-2bc cosＡを試してみましたが、解答に辿り着きません。ｂの３＋√３が曲者？私の視点が違っているのでしょうか？
どの公式を使用してどのように計算していけば、もとめられるのでしょうか。ちなみに数学は全部苦手です。そんな私に超解りやすく解説していただけませんでしょうか。宜しくお願い致します。

回答No.4

debut · ベストアンサー

Ｎｏ１です。
　計算過程を細かく書いてみますので、１つ１つ確認してください。
　　ａ^2＝ｂ^2＋ｃ^2－２ｂｃcosＡ
　　　　ｂ^2＝(３＋√３)^2＝９＋２×３×√３＋３＝12＋６√３
　　　　ｃ^2＝(√６)^2＝６
　　　　２ｂｃcosＡ＝２×(３＋√３)×√６×cos45°
　　　　　　　　　　＝２×(３＋√３)×√６×(１/√２)
　　　　　　　　　　＝２×(３＋√３)×√６/√２
　　　　　　　　　　＝２×(３＋√３)×√３　　←√６/√２を約分
　　　　　　　　　　＝２×√３×(３＋√３)　　←√３を前に
　　　　　　　　　　＝２√３×(３＋√３)　　　　　
　　　　　　　　　　＝２√３×３＋２√３×√３　←２√３を分配
　　　　　　　　　　＝６√３＋６
　　以上より、
　　　ａ^2＝12＋６√３＋６－(６√３＋６)
　　　　　＝12＋６√３＋６－６√３－６
　　　　　＝12
　　よって、
　　　ａ＝√12＝２√３

＜正弦定理に入れた計算＞
　　ａ/sinＡ＝ｃ/sinＣ　より、
　　　　２√３/sin45°＝√６/sinＣ
　　　　２√３＝(√６/sinＣ)×sin45°　←sin45°を両辺にかける
　　　　２√３×sinＣ＝√６×sin45°　　←sinＣ　を両辺にかける
　　　　２√３×sinＣ＝√６×(１/√２)
　　　　２√３×sinＣ＝√３
　　　　sinＣ＝√３/(２√３)　　　　　　←２√３　で割る
　　　　sinＣ＝１/２
　よって、Ｃ＝30°。 Ｂ＝180°－45°－30°＝105°

お礼

debut様、丁寧に解説頂きありがとうございました。
この通りに計算したら、自分でも答えが出せました！

回答No.3

debut

Ｎｏ１です。
　余計なお世話かもしれませんが、「超解りやすく」ということで、
　後半の正弦定理を計算するときのことを少し。
　　a/sinA=c/sinC から　2√3/sin45°=√6/sinC　となりますが
　　この時点で　両辺にsin45°をかけて　2√3=(√6/sinC)×sin45°
　　　　　　　　両辺にsinC　をかけて　2√3sinC=√6sin45°
　　のようにしておくとやりやすいでしょう。

回答No.2

dougulus

未知数がちょうど三つあるので、以下の余弦定理
三角形ABCにおいて、BC=a, CA=b, AB=c とおくとき、
a = bcosC + ccosB
b = ccosA + acosC
c = acosB + bcosA
というのを使って、３つの連立方程式を使い解くというのが思いつきますが、めんどうです。

ご質問にあるとおり、c2 = a2 + b2 - 2abcosθ
という余弦定理を使ってとくのが最速です。
計算してみたところ、ちゃんと√12=2√3になりました。
計算間違えがあるはずです、よく確認してみてください。
あとは、aが求まったので、sinB,CなりcosB,Cなりを出せばOKです。

お礼

ひとつの問題にも、幾通りも計算方法があるのですね。
勉強になります。

回答No.1

debut

お考えのａ2=b2+c2-2bc cosＡの利用でよろしいです。

　a^2=(3+√3)^2+(√6)^2-2√6(3+√3)cos45°
　　　=12+6√3+6-2√6(3+√3)×(1/√2)
　　　※後半の√6×(1/√2)=√3としておけば
　　　=12+6√3+6-2√3(3+√3)
　　　=・・・・

aが求まれば、正弦定理a/sinA=c/sinC　からＣが出て、内角の和からＢ
が求まります。

補足

せっかくの回答が・・・。すみません。よく理解出来ません。
『※後半の・・・』というところから、固まってしまいました。平方根の計算が確実には出来ていないからでしょうか。