数学 三角関数

質問

写真の112番(1)の問題です。
cを求める際に解答では角Aと辺b,cで余弦定理を使ってると思いますが、角Bと辺a,cで余弦定理を使って求めることはできないのですか？
角Aと辺b,cの余弦定理だと式が
c^2-√2c-1=0となりますが、
角Bと辺a,cの余弦定理だと式が
c^2-√6c+1=0になります。
私の計算が違うのでしょうか…。

回答No.2

atkh404185 · ベストアンサー

計算、考え方は間違っていません。

（ア）　角Ｂを用いた余弦定理でつくった式
c^2-√6c+1=0
を、解の公式を使って解くと、
c=(√6±√2)/2
になります。

（イ）　角Ａを用いた余弦定理でつくった式
c^2-√2c-1=0
の解は、
c=(√2±√6)/2
です。 c は辺の長さだから
　　c>0
なので、
c=(√2-√6)/2
は適さないことがすぐにわかります。

ところが、
c=(√2±√6)/2
は、
c=(√6+√2)/2 も c=(√6-√2)/2 も
両方とも
　　c>0
となり、両方とも答えになってしまいます。
（実際、よくまちがえます）

でも、実際は、答えは、
c=(√6+√2)/2
の１つだけです。

c=(√6-√2)/2 が《 なぜ 》 答えにならないかの説明をしなければなりません。

（イ）の解き方だと、その煩わしさがないのです。
c>0 だけですみます。

（ア）の解き方です。
c=(√6±√2)/2
ここで、最大角は、∠Ｃであるから、最大辺は ＡＢ である。
c=(√6-√2)/2 のとき
(√3)^2-{√6-√2)/2}^2
=3-(6-4√3+2)/4
=3-(8-4√3）/4
=3-(2-√3)
=1+√3>0
よって、
(√3)^2>{√6-√2)/2}^2
√3>0、 (√6-√2)/2>0 だから
√3>(√6-√2)/2
これは、最大辺が、ＡＢであることに矛盾する。
よって、
c=(√6+√2)/2
である。

のようになります。

（ア）の解き方だと、かなり大変（煩わしい）です。

以上のことを、考える（ふまえる）と、
明らかに、（イ）の解き方（解答例）がよいはずです。

回答No.3

bran111

質問者の

c^2-√6c+1=0

はもちろん正しい。ただし、この解

c=[√6±√(6-4)]/2=(√6±√2)/2

から(√6-√2)/2はだめで、(√6+√2)/2が適するという理由を見つけるのの苦労します。

そこを巧妙に避けたのが写真の方法です。

もっとよさそうなのは（以下、°を省略）

c^2=2+3-2√2√3cos75=5-2√6cos75

です。ただしこれにはcos75を計算する必要があります。

最良の解法は正弦定理を使う方法です。

ｂ/sin45=c/sin75

c=(√2√2)sin75=2sin75

加法定理により

sin75=sin45cos30+cos45sin30=(1/√2)(√3/2)+(1/√2)(1/2)=(√3+1)/2√2

c=2sin75=(√3+1)/√2=(√6+√2)/2

がよいでしょう。まだ三角関数の加法定理は習ってないかと思いますが、いずれ使えるようにしてください。

回答No.1

gohtraw

間違っていないんじゃないかな。
ただ解が
（√６±√２）/２
となって、解の吟味が必要。求める解は複号がプラスのときで、マイナスになるのは
内角Aが１２０°になる場合かな。