三角関数

質問

「AB=2,BC=3,CA=4の△ABCがある。∠BACの２等分線と辺BCとの交点をDとする。線分ADの長さを求めよ。」
という問題で、△BADの余弦定理からADを求めると、√6、1/2√6となりました。回答は√6なのですが、1/2√6が不可である根拠を教えてください。ちなみに解答は面積から求める方法でした。

回答No.3

y_akkie · ベストアンサー

三角形の成立条件はご存知でしょうか？
おそらく学校ではあまり習わないと思いますが、
三辺をa,b,cとすると、|c-a| < b < c+aであれば三角形が
成立する事になります。

詳しくは下記を参照して下さい。
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/node40.html

今回の場合、ΔADCにおいて、
AD = √6/2 ,DC = 2, CA = 4
|4-2| < √6/2 < 4+2　より、
2 < √6/2 < 6、すなわち、4 < √6 < 12になりますが、
2 < √6 < 3なので、上記の不等号の関係が成立せず、すなわち、
ΔADCは成立しない事になります。

もっとも、余弦定理により、
AD^2 = DC^2 + CA^2 - 2DC×CAcosCより、
(√6/2)^2 = 4^2 + 2^2 - 2×4×2cosC
6/4 = 16 + 4 - 16cosC
cosC = 37/32であり、-1 < cosC < 1から、
有り得ない事が分かります。

お礼

本当にありがとうございました。また、道に迷った時には、是非ご指導お願いいたします。

補足

なるほど！納得しました。△ACDからありえないと導けるのですね。まったく考えが及びませんでした。大変助かりました。

回答No.2

ht1914

（１／２）√６はどういう式からでてきましたか。

＃１のご回答にあるようにＢＤ＝１，ＣＤ＝２を求めた上で
△ＢＡＤで余弦定理を使ったとします。ｘ＝ＡＤとします。。∠ＢＡＤ＝θとします。θも分かりませんので△ＤＡＣについても余弦定理を使って連立させます。ｘ＾２＝６となります。

＃１のご回答にあるように。∠ＡＢＣについて△ＡＢＣと△ＡＢＤで出した場合もｘ＾２＝６となります。

お礼

貴重なお時間を割いてのご回答、どうもありがとうございました。

補足

その方法もありましたね。私の場合は、sin1/2∠BACを求めて余弦定理を使ったために、二次方程式をとくことになり、答えが2個出てきました。めんどくさいやり方を選択してしまったのですが、これはこれで気になるのです。

回答No.1

banakona

おそらくＢＤ＝１を求めた上で、ＡＤをｘとし、cos∠ＢＡＤを使う余弦定理で２次方程式を出したのでは？（違っていたらごめんなさい。）

こうすると、点Ｄの候補として、ＢからＡＤに下ろした垂線の足に関して、Ａに近い側と遠い側の２点があがります。正確な図を描くとわかるのですが、求めるのは遠い側です。近い側（２次方程式の解の公式でマイナスの方）が1/2√6、遠い側（２次方程式の解の公式でプラスの方）が√6なので、√6が適解となります。

（この問題、∠Ｂに関する余弦定理を△ＡＢＣと△ＡＢＤとで連立させるとＡＤがあっさり求まるんですね。図形の問題って奥深いですね）

お礼

貴重なお時間を割いてくださり、感謝します。今後ともよろしくお願いします。

補足

ご指摘のとおりです。確かに図的にはわかるのですが、答案に書けるような理論的な根拠が欲しいのです。∠BDAを求め、「鈍角は図より不可」なんてことでしょうか。なんだか理論的でないような・・・・
ともあれ、よくわかるご回答ありがとうございました。