幾何問題の解法について

質問

∠BAC=96度
∠ABC=54度
AB=1
AC=x
の三角形ABCについて、xの値を求める問題について、自分なりに導いた解答についてお聞きしたいです。
①∠CBAから+6度広げた線分とCAの延長線との交点をDと置く。
②∠BACから-6度狭めた線分とCBとの交点をEと置く。
③DBをyと置く。
④三角形の比より
DC=√3y、それとAC=xから、
AD=√3y-xとなる。
⑤平行線と線分の比より、
AC:DC=EC:BCから、
xについてyの式で解いて、ADをyの式で表す。
⑥直角三角形ADBについて、三平方の定理より、
DB^2+AD^2=AB^2からyの二次方程式を解き、yを⑤の式に代入してxを導く。

この解法は正しいでしょうか？
ご見識のある方、ぜひご教授お願いいたします。

回答No.3

staratras

幾何的な回答です。この三角形ABCの外接円を考えると、その中心OはABを1辺とする正三角形のもう一つの頂点となり、外接円の半径は1になります。
なぜならば、円周角∠BCA=30度だから中心角∠AOB=60度となり、三角形AOBは頂角60度の二等辺三角形（つまり正三角形）になるからです。

ここで、AOを延長してAを中心とし半径CA(=x)の円との交点をDとすると、三角形ADCは頂角36度で等辺の長さxの二等辺三角形です。
また三角形CODも頂角36度で等辺の長さが1の二等辺三角形です。2つの三角形は相似だから相似比を考えると

x：1＝1：(x-1)　　∴x(x-1)-1=0 x^2-x-1=0 x=(1±√5）/2　
x>0だから　x=(1+√5）/2

回答No.2

staratras

この問題は見かけは単純ですが、初等幾何だけで解こうとするといささか面倒です。ご質問の解法で、④までは理解できましたが、⑤がよくわかりません。平行線と線分の比より、とありますが具体的に何が平行なのでしょうか、下の図ではAC:DC=EC:BCには見えません。

この問題をひとことで言えば、三角形の3つの角の大きさと1辺の長さが与えられて三角形の大きさを決定する（残りの辺の長さを求める）問題です。
下の図で三角形ABCの頂点Aから辺BCに垂線の足AHをおろすと、∠HCA=30度　だからAH=1/2CA=1/2x=sin54度　
したがってx=2sin54度。

sin54度は、工夫をすれば公式を使った計算だけでも、また幾何的にも求めることが可能です。計算の場合　θ=18度　とすると2θ=36度　3θ=54度　

sin3θ=cos(90度-3θ)=cos2θだから　3倍角と倍角の公式よりsinθ=tとおくと
3t-4t^3=1-2t^2
4t^3-2t^2-3t+1=0
(t-1)(4t^2+2t-1)=0
t≠1だから4t^2+2t-1＝0
t=（-1±√5）/4
t>0 だから　t=（-1+√5）/4　
∴sin54度=1-2t^2=（1+√5）/4
∴ｘ＝（1+√5）/2

幾何の場合は次の別回答にします。

回答No.1

asuncion

それで、xがいくつになったかまで
書いていただきたかったですが、さておき、
アプローチの一つとして正しいと思います。
(1 + √5) / 2
になりましたか？