三角比

質問

三角比の問題が解答を見ても
理解できずに困っています。

△ABCにおいて、A=60゜,B=45゜,ｂ=√3 のときの
a ,c ,sinC を求めよ。

という問題なのですが、
どの公式を使ってどのように解いていけばよいのか
わかりません。

ご回答宜しくお願いします。

回答No.3

chomsky123 · ベストアンサー

＞＞A=60゜,B=45゜,b=√3 →a ,c ,sinC 。
　　　　　　C
　　　　　　・　　
　　　　　・　　・
b=√3　　　　　　・ a
　　　・　　　　　　　　・
　　・　　　　　　　　　　　・
　・　60゜　　　　　　　45゜　・
AーーーーーcーーーーーーB

a/sinA=b/sinB=c/sinC
a/sin60=√3/sin45=c/sinC

sin60=(√3/2),,,sin45=(1/√2)

a/(√3/2)=√3/(1/√2)
a=(√3/2)(√3√2)=(3√2/2)
------------
(a^2)=(b^2)+(c^2)-2bc*cosA

cos60=(1/2)
(3√2/2)^2=((√3)^2)+(c^2)-2c√3*(1/2)

9/2=3+(c^2)-c√3
9=6+2(c^2)-2√3c
0=2(c^2)-2(√3)c-3
　　解の公式その２より、
c=(√3+３)/2
-----------
b/sinB=c/sinC
C=75

√3/(1/√2)=((√3+３)/2)/sinC
sinC=((√3+３)/2)/(√3√2)=((1+√3)/2)/√2)=(√2+√6)/4

＜sin75=(√2+√6)/4＞
ーーーーーーーーーーーーーー

（別解）　点Cから下ろした垂線の足をH、
　　　　　　　C
　　　　　　　・　　
　　　　　・　・　・
b=√3　　　・　　　・ a
　　　・　　　・　　　　　・
　　・　　　　・　　　　　　　・
　・　60　　 ・　　　　　　45゜　・
AーーーーHーーーーーーーB
　　　　　　　　c

△AHCの三辺の比より、
AH=(√3/2),,,CH=HB=(3/2),,,
c=AH+HB=(√3/2)+(3/2)=(√3+３)/2
a=(3/2)*√2=3√2/2
sinCは正弦定理より求められる。

お礼

おぉっ！三角形が・・・！
細かく説明してくださって有難うございますっ
やはり問題を解くには基礎の知識がしっかりと
していなければダメですね。
もう一度基礎からちゃんと固めていこうと
思います。
有難うございました、とても助かりました!

回答No.4

HYOTAROW

またまたNo2です。わかりにくく書いてしまい、すみません！
chomsky123さんがわかりやすく解答してくださっていましたね!

【1】a
No2とは別公式ですが、
a/sinA ＝ b/sinB ＝ c/sinC　（正弦定理）
という公式がありますので、

そこに、∠B＝45°（これはsinB＝1/√2ですね）と、
　　　　b＝√3　
　　　　∠A＝60°（これはsinA＝√3/2ですね）　を代入します。
これでaがわかりますよね。
※　a/sinA ＝ b/sinB
　 a/(√3/2)＝√3/(1/√2)　を解くと、
　　a＝3√2/2

【2】c
aがわかったところで、
b^2=c^2+a^2-2ca cosB という余弦定理が登場です。
　b＝√3、
　∠B＝45°（つまりcosB＝1/√2でね）
　と、求めた　a＝3√2/2　を代入すると、cについての方程式ができます。
※　(√3)^2＝c^2＋(3√2/2)^2－2×c×(3√2/2)×(1/√2)
　　3＝c^2＋(9/2)－3c
　　c^2－3c＋3/2＝0　両辺に2をかけて分母を消します。
　　2c^2－6c＋3＝0　を解の公式で解きます。

*ところで...*
sayapoohさんの解答の、　c＝a cosB + b cosA　とは、
第1余弦定理というものらしいですね。（他にa＝b cosC＋c cosB、　b＝c cosA＋a cosC 。私は知りませんでした。あしからず..。）
　　c＝(3√2/2)×(1/√2)＋√3×(1/2)
　　 ＝(3＋√3)/2

【3】sinC
また【1】の公式に戻り、
b/sinB ＝ c/sinC
※　√3/(1/√2)＝｛(3＋√3)/2｝/sinC
　　sinC＝(√6＋√2)/4

求めたい sinC が分母にきてしまうと面倒になりますよね。
sinC＝～の形にするためにsayapoohさんの解答の式までの道のりを細かく書くと、
b/sinB ＝ c/sinC　
「両辺×sinC」で、　(b×sinC)/sinB＝c
分子のsinBが邪魔なので「両辺×sinB」で、　b ×sinC＝c×sinB
bが邪魔なので「両辺÷b」で、　sinC＝(c×sinB)/b
となります。

わかりやすく書けず、申し訳ないです！

お礼

私の方こそ理解力がなく、申し訳ありません・・！
細かく説明してくださって有難うございますっ！
おかげで理解することができました。
でも、やはり基礎の知識が足りてないなぁ、と実感したので
基礎からしっかりと勉強していこうと思います。

>わかりやすく書けず、申し訳ないです！
とんでもないですっ、とてもわかりやすかったです!
ありがとうございました(＾∪＾

回答No.2

HYOTAROW

どこまで書いていいのかわかりませんが、この問題に関しては、

まずaについて正弦定理 b=2RsinBでRを求め、
　a=2RsinAに適用。

余弦定理b^2=c^2+a^2-2ca cosB などで c がわかる。
再び正弦定理を用いてsinCを求める。

という回答でいかがでしょうか。

お礼

早速のご返答ありがとうございます。

色々混乱してしまって
b=2RsinBでRを求める、という
ことすらできずにいます・・・(すいません。。

bには√3を代入・・？
ではsinBには・・・？

解答の方では

a=sinA/sinB b
=3/2 √2

c=a cosB + b cosA
=3/2+√3/2

sinC=c×sinB/b
=1/4(√2+√6)

となっています。
これはどういう風に解いているのでしょうか？

数学が得意ではないため
初歩的な質問ばかりになってしまい申し訳ないのですが
宜しくお願いします。

回答No.1

10ken16

角度が２つ分かっているときは正弦定理
２辺挟角または３辺が分かっているときは余弦定理

今の場合なら正弦定理でスタートですね。

お礼

早速のご返答ありがとうございます。

解答は
a=sinA/sinB b
=3/2 √2
というのから始まっているんですが
これは正弦定理でスタートしたということでいいのでしょうか？