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偏微分のパラドックス?
偏微分について、基本的なことがよくわからなくなりました。 z = z(x, y) のとき、チェーンルールで dz/dx = ∂z/∂y * dy/dx + ∂z/∂x が成り立ちますよね。 すごく単純な例ですが、 z(x, y) = y^2, y(x) = x^2 としたとき、矛盾が起こってしまいます。 まずチェーンルールから dz/dx =∂z/∂y * dy/dx + ∂z/∂x =(2 y) * (2 x) + ∂z/∂x =4 x^3 + ∂z/∂x ・・・(1) です。一方で、 d(z)/dx = d(y^2)/dx = d(x^4)/dx = 4 x^3 ・・・(2) ∂(z)/∂x = ∂(y^2)/∂x = ∂(x^4)/∂x = 4 x^3 ・・・(3) ですから、(2)(3)を(1)に入れると 4 x^3 = 8 x^3 となります。 何かがおかしいと思うのですが、何が間違っているのでしょうか? ● x, y が独立のときしかチェーンルールを使えない? ● (3) がまちがっている。つまり、∂z/∂x = 0 ?
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z=y^2というx-y-z空間での曲面を考えるなら、 ∂z/∂x = 0 ∂z/∂y = 2y この時、 dz/dx = ∂z/∂y * dy/dx + ∂z/∂x = 2y * dy/dx y=x^2なら、dy/dx=2xなので dz/dx = 2 (x^2) * 2x = 4 x^3 となります。 z=x^4というx-y-z空間での曲面を考えるなら、 ∂z/∂x = 4x^3 ∂z/∂y = 0 この時、 dz/dx = ∂z/∂y * dy/dx + ∂z/∂x = 0 + 4x^3 = 4x^3 どちらの場合も4x^3となり、矛盾しません。
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- Rossana
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>zにyを代入してからxで微分(偏微分)するのは、 本来 ∂z/∂x = { z(x+Δx,y) - z(x,y) }/Δx を計算するべきところを、 z(x+Δx,y)のかわりに z(x+Δx,y+Δy)を使って計算していることに相当します。 --------------- すみません、ここが理解できなかったのですが、なぜ、z(x+Δx,y+Δy)を使って計算していることに相当することになるのでしょうか? 例えばnewtonZさんの例の関数z=y^2,y=x^2を考えると,x=Xのとき,y=Y=X^2,z=Z=(Y^2)^2=X^4 ですから,x=X+ΔXのとき, y=(X+ΔX)^2=X^2+2XΔX+ΔX^2=Y+2XΔX+ΔX^2 ∴ ΔY=2XΔX+ΔX^2 とどうしても自然にyが変動してしまいます. 以下の表示はx,yが独立変数ではないため不適切ですがあえてそのように表示しますと, z(x+Δx)⇒z(x+Δx,y+Δy) なのです.
お礼
合点行きました。ありがとうございます!
- wolv
- ベストアンサー率37% (376/1001)
● (3) がまちがっている。つまり、∂z/∂x = 0 ? これです。 ------------------------------------------------------------ x,y,z空間での4点 z(x,y) z(x+Δx,y) z(x,y+Δy) z(x+Δx,y+Δy) を考えてください。Δx,Δyが十分小さいとき、これら4点はある平面上にあるとみなせます。このとき、だいたい dz/dx = { z(x+Δx,y+Δy) - z(x,y) }/Δx dy/dx = Δy/Δx ∂z/∂x = { z(x+Δx,y) - z(x,y) }/Δx = { z(x+Δx,y+Δy) - z(x,y+Δy) }/Δx ∂z/∂y = { z(x,y+Δy) - z(x,y) }/Δy = { z(x+Δx,y) - z(x+Δx,y) }/Δy となります。 zにyを代入してからxで微分(偏微分)するのは、 本来 ∂z/∂x = { z(x+Δx,y) - z(x,y) }/Δx を計算するべきところを、 z(x+Δx,y)のかわりに z(x+Δx,y+Δy)を使って計算していることに相当します。 ------------------------------------------------------------ …とここまでやや直感的に書いてしまったので、検討してみてください。
- mmky
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参考程度に z = z(x, y) の全微分は、zの関数表示が示されていない場倍は、 ∂z = ∂z(x, y)/∂y* ∂y+∂z(x, y)/∂x* ∂x だから ∂z/∂x = ∂z(x, y)/∂y*(∂y/∂x)+∂z(x, y)/∂x であっていますね。 z=y^2, y=x^2 の場合は、Z はyのみの関数だから ∂z(x, y)/∂x=0 ですね。 ∂z/∂x = ∂z(x, y)/∂y*(∂y/∂x) =2y*2x=4*x^3 (∂y/∂x)の項はyとxの関係でzの関係ではありませんね。 Z=x^4 と表示すれば、z はxのみの関数だから逆に ∂z(x, y)/∂y=0 となりますね。 ∂z/∂x =4x^3 という考え方ですね。 あくまでもzに関する微分ですからzの関数表示に着目するんですね。 参考程度に
お礼
なるほど、 ∂z = ∂z(x, y)/∂y* ∂y+∂z(x, y)/∂x* ∂x は常に成り立つ式で、問題は、zの関数表示なんですね。 ありがとうございます! (2日間も悩んでしまっていました)
お礼
非常に詳しい解答、ありがとうございます。 #3は完全に理解できました。感謝です! zを何であらわしているかということじたいが大事なのですね。 ところで#2ですが、 --------------- zにyを代入してからxで微分(偏微分)するのは、 本来 ∂z/∂x = { z(x+Δx,y) - z(x,y) }/Δx を計算するべきところを、 z(x+Δx,y)のかわりに z(x+Δx,y+Δy)を使って計算していることに相当します。 --------------- すみません、ここが理解できなかったのですが、なぜ、z(x+Δx,y+Δy)を使って計算していることに相当することになるのでしょうか?