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偏微分のパラドックス?
偏微分について、基本的なことがよくわからなくなりました。 z = z(x, y) のとき、チェーンルールで dz/dx = ∂z/∂y * dy/dx + ∂z/∂x が成り立ちますよね。 すごく単純な例ですが、 z(x, y) = y^2, y(x) = x^2 としたとき、矛盾が起こってしまいます。 まずチェーンルールから dz/dx =∂z/∂y * dy/dx + ∂z/∂x =(2 y) * (2 x) + ∂z/∂x =4 x^3 + ∂z/∂x ・・・(1) です。一方で、 d(z)/dx = d(y^2)/dx = d(x^4)/dx = 4 x^3 ・・・(2) ∂(z)/∂x = ∂(y^2)/∂x = ∂(x^4)/∂x = 4 x^3 ・・・(3) ですから、(2)(3)を(1)に入れると 4 x^3 = 8 x^3 となります。 何かがおかしいと思うのですが、何が間違っているのでしょうか? ● x, y が独立のときしかチェーンルールを使えない? ● (3) がまちがっている。つまり、∂z/∂x = 0 ?
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お礼
非常に詳しい解答、ありがとうございます。 #3は完全に理解できました。感謝です! zを何であらわしているかということじたいが大事なのですね。 ところで#2ですが、 --------------- zにyを代入してからxで微分(偏微分)するのは、 本来 ∂z/∂x = { z(x+Δx,y) - z(x,y) }/Δx を計算するべきところを、 z(x+Δx,y)のかわりに z(x+Δx,y+Δy)を使って計算していることに相当します。 --------------- すみません、ここが理解できなかったのですが、なぜ、z(x+Δx,y+Δy)を使って計算していることに相当することになるのでしょうか?