積分

質問

先日大学で積分の宿題が出たのですが、分からなくて困っているので助けて下さい。いずれも不定積分です。
（１）∫(x^3+1/x^2+2x-3)dx
（２）∫(1/1+cosx)dx
（３）∫{1/√(x-a)(b-x)}dx
（４）∫(1/x√4x^2+9)dx
√以降はすべて根号の中に入っています。
どれか一つでも良いので回答よろしくお願いします。

回答No.2

proto · ベストアンサー

授業を聞いていればわかりそうな基本問題ですが。

(1)
　　(x^3+1)/(x^2+2x-3) = (x-2) +(7x-5)/(x^2+2x-3)
　　　　　　　　　　　 = (x-2) +(7x+5)/((x-1)(x+3))
　　　　　　　　　　　 = (x-2) +1/(2(x-1)) +8/(x+3)
と分解してから項ごとに積分。

(2)
解き方はいくつかありそうだが、
　　tan(x/2) = t
と変数変換すると、
　　1/(1+cos(x)) = (1+t^2)/2
　　dx/dt = 1/(1+t^2)
より
　　∫{1/(1+cos(x))}dx = ∫{1/2}dt
となり簡単に積分できる。

(3)
　　1/√((x-a)(b-x)) = (1/(x-a))*√((x-a)/(b-x))
と変形してから、
　　t = √((x-a)/(b-x))
と変数変換すると。
　　(1/(x-a))*√((x-a)/(b-x)) = ((1+t^2)/((b-a)t^2))*t
　　dx/dt = (2t(b-a))/(1+t^2)^2)
より
　　∫{1/√((x-a)(b-x))}dx = ∫{2/(1+t^2)}dt
となり簡単に積分できる。

(4)
これもよく見る形の変換
　　√(4x^2+9) = t-2x
と変数変換すると
　　x = (t^2-9)/(4t)
　　√(4x^2+9) = (t^2+9)/(2t)
　　dx/dt = (t^2+9)/(4t^2)
より
　　∫{1/(x√(4x^2+9))}dx = ∫{2/(t^2-9)}dt
となり、さらに
　　2/(t^2-9) = (1/3)*(1/(t-3) - 1/(t+3))
と分解することで簡単に積分できる。

どの問題も解けるように作ってあるので非常に解きやすい。
こういうのは慣れです。頑張ってください。

お礼

詳しい説明ありがとうございました。提出日が迫っていたので非常に助かりました。あとは自分で頑張ってみます。

回答No.1

info22

宿題の丸投げと丸解答を求めることはサイトのマナー違反となりますがご存知ですか？
「ご自身である程度問題解決に取り組まれた上での疑問点や問題点、お困りの点を明確にしてご投稿いただきたい」と掲載されています。
なので各問題に自分の解答の詳細を補足に書いた上で、行き詰っている箇所を質問して下さい。

お礼

ご指摘、たしかにその通りです。すみませんでした。以後気をつけます。