積分の問題

質問

∫[0～Π](e^x(sinx)^2)dx>8を示せという問題なのですが、うまい方法が思い付きません。
どのように、もとの関数より小さい関数に変形すればいいでしょうか？

回答No.3

zk43 · ベストアンサー

(sinx)^2=(1-cos2x)/2として、e^xとe^xcos2xの積分に分けます。
e^xの積分の方はすぐできます。
e^xcos2xの積分の方は、２回部分積分することより、同じ積分
の形が出てくるので、それを解いてできます。
すると、元の積分の値は、(2/5)(e^π-1)となります。
これが8より大きいということは、e^π>21と同値です。
e^πの評価ですが、
e^π>(2.7)^3.1=(2.7)^3×(2.7)^0.1=19.683×(2.7)^0.1
となり、(2.7)^0.1>1.1程度が示せれば、
e^π>19.683×1.1=21.6513
となって、示すべきことが得られます。
(2.7)^0.1>1.1は、2.7>(1.1)^10と同値ですが、
(1.1)^10=2.59…なので、確かに成り立ちます。
e^xのテイラー展開を使う方法もありますが、これは高校の
範囲外ですね。
もちろん、上記の他にもうまい評価方法があるかも知れません。

お礼

なるほど、確かに
(sinx)^2=(1-cos2x)/2
を使えば簡単に出来ますね。
基本的にオイラーの公式使えば大概うまくいくから久々にこの変形を思い出しました。

どうも有り難うございました。

回答No.2

arrysthmia

積分してしまうほうが簡単でしょう。
部分積分でも良いし、
sin x = (e~ix - e~-ix)/(-2i)
を使っても良い。
値は (2/5)(e~π - 1) ですから、
最後は e~π ＞ 2.718~3 かな。

お礼

確かに、
sinx=(exp(ix)-exp(-ix))/2i
を使えば、簡単に積分できてしまうのですが、この問題は2009年06月07日の熱血！平成教育学院で、東大の理系の問題がどの程度難しいのかという例で上げられていたので、オイラーの公式を使わなくても高校の範囲で解けるはずなのです。
また、結局
e^Π>21
を示せばいいことになる。とTVで言っているので多分これ以外に何か良い方法があると思うのです。

また、値は (2/5)(e~π - 1) と書かれていますが、これはどこから出てきたのでしょうか？

回答No.1

Tacosan

何回か部分積分すると元に戻ってきそうな予感.
まあ, それで解けるかどうかは知らないけど.

お礼

解答有り難うございます。
部分積分を繰り返してもうまくいきませんでした。