数学とは何ですか？

質問

人によって違うとは思うのですが、
あなたにとって数学とは何ですか、
と聞かれたらどう答えますか？

回答No.25

cyototu

＞数学にも、ぞくに純粋数学と応用数学と呼ばれる分野がありますが、

に関しても一言。

人間の歴史を振り返ってみると、面白いもので、人は何も役に立たないことをやっている者ほど、自分に誇りを持ち、威張って来たようです。昔は、何もしないで哲学を語っていた貴族達が、物を作る連中を馬鹿にしていました。理系の連中のなかでも、原理を語る物理学者は、もっと地に着いた物を研究している化学者や生物学者や、それよりももっと直接役に立っている工学者達よりも威張っているところがあります。また、物理学の中でも、宇宙論や素粒子論などのように、最も役に立たないことをやっている連中が最も誇りが高く、その反対に、化学や生物や工学に最も役に立つ熱力学をやっている連中を見下すようなところが在ります。ナノサイエンスをやっている物理学者は物理学の間では大分肩身が狭いと思います。ただし、本当のことを言うと、基本原理だ何だと威張っている宇宙論屋さんや素粒子論屋さんの中には、彼等から言わせると単なる現象論をやっている、最も油にまみれた熱力学が、量子論という基本原理を導き出したことを、つい忘れている連中も一杯いますが。

多分それと同じ様なことが数学者の間でもあるかもしれません。昔ある本で読んだのですが、ある数学者が大変興奮して、自分の証明した定理を捲し立てていました。彼は、その定理が応用できるところがどこにも存在していないことを大変な誇りを持っていたと言う笑い話です。

この笑い話のご仁のように、並な数学者は、自分は数学基礎論と言う所謂純粋数学をやっているので、応用数学のように実社会に役に立つ物ではないと、と言うかもしれませんね。ところが、人間とは恐ろしい者で、数学の基礎論をいきなり現実の物理現象に適応して、物理学の難問を解いてしまった並外れた数学者も居ります。ロシアの数学者コルモゴロフ(K)は１９５４年に、天体の運動の３体問題と呼ばれる非線形数学の代表的な問題に対して、その問題にもエネルギー以外にも、力学の基本的な量である運動の恒量と言うもが、非常に特異な形で存在できることを発見したのです。その発見は、その後、現代の大数学者アーノルド(A)とモーザー(M)によってそれぞれ独立に、厳密に証明されました。これは、KAMの理論と呼ばれ、近代非線形力学およびカオスの問題の夜明けをもたらしたと言われています。

私がコルモゴロフの原論文を読んだ時に度肝を抜かれたのは、彼が天体の運動を論じるのに、数論で数の分類の時に使われるデオフォントスの不等式を使ってその運動の恒量の存在を示したことでした。この時には、数学基礎論だ応用数学だと言っているのは我々凡人の戯言であり、人間行き着くところまで行き着くと、そんな区別は余り意味がないのかと、目から鱗が落ちたような気がしました。

でもその一面、物理学をやるのに数学の基礎論も勉強しないといけないのかと、見方によってはウンザリしたことを覚えています。数学者の方から見ると、数論がどうの、超越数がどうのということは数学の中でどの位置を占めているか知れませんが、物理屋から見るとこんなもの、物理学をやっていても一生お目にかかれない数学の分野だと思っていました。

全くの現象論である熱力学が量子力学の基本原理を導き出してみせたり、数論のような数学の基礎論が現実の天体の運動を記述してみせたりと、この世の中には一筋縄では行かないところあるから、学者は食いっぱぐれずにいられるようですね。