- ベストアンサー
Z会の問題、今まで見たこともない漸化式
gef00675の回答
- gef00675
- ベストアンサー率56% (57/100)
#2のようにa[n]として等比数列の形を仮定すれば、 公比の候補が３つ得られ、そのうち、条件a[1]=1、a[2]=2を満たすものとして a[n]=2^(n-1)の形がえられるのですが、困ったのはその先。 a[n]>0,a[n+1]>0が決まったとしても、問題文の３次式を満たすようなa[n+2]は、最大３個の可能性があり、そのうちa[n+2]>0なるものがただ一つに決まる（よってa[n]=2^(n-1)の形以外にない）ということを、きちんと示す必要があると思います。 この点をちゃんと確かめないと、a[n]の数列が無限に枝分かれしていく可能性が残ってしまいます。枝分かれしていくようでは、もはや、数列を定めるための漸化式とはいえないでしょう。 これを出題した人は、その辺をどう処理したんでしょうね？ それとも、単に、条件を満たす数列の候補を一つ見つけよという意図ですかね？
noname#103103
関連するQ&A
- Z会の今まで見たこともない漸化式からある不思議な関連を発見
とても不思議と僕は思っておりますので、ちょっと長くなりますが、どうかお付き合いください。 Z会の問題をヒントに、次のことを発見しました。 a[1]=1 , a[2]=4 a[n+2] - 3a[n+1] + a[n] = 0 ⇔ a[n]<a[n+1] , a[1]=1 a[n+1]^2 - 3a[n]a[n+1] + a[n]^2 = 5 という、漸化式の不思議な同値性です。 ちなみに、{a[n]}={1,4,11,29,76,199,521,…} (⇒)を示すのは比較的簡単です。見通しよくするために構成的に証明してみます。 t^2-3t+1=0の解をα,βとすると、α+β=3,αβ=1 a[n+2] - αa[n+1] = β(a[n+1] - αa[n]) よって、 a[n+1] - αa[n] = β^(n-1) (4 - α) 同様に、 a[n+1] - βa[n] = α^(n-1) (4 - β) これらをかけて、整理すると、 a[n+1]^2 - 3a[n]a[n+1] + a[n]^2 = 5 また、a[n]<a[n+1]は数学的帰納法で示すことが出来ます。 しかし、反対方向の証明がわかりません。 数列の正体は、 a[n]={(1+√5)/2}{(3+√5)/2}^(n-1) + {(1-√5)/2}{(3-√5)/2}^(n-1) なので、それを仲介して大量の計算をすれば証明できるかもしれませんが、見通しよくありません。 a[n+2] - 3a[n+1] + a[n] = 0 という漸化式の解空間は、2次元線形空間になります。つまり、二つの解の和も解だし、一つの解の実数倍も解だし、第一項と第二項が定まれば全部の項が定まるので2次元です。 a[1]=1 , a[n+1]^2 - 3a[n]a[n+1] + a[n]^2 = 5 という2項間漸化式は、 a[n]の値からa[n+1]の値を求めるとき、2つに分岐しますが、それを適当に定めることによって、3項間線形漸化式に帰着されるのはなぜでしょうか？ どのような構造があるのでしょうか? http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4936699.html で質問させていただいたことと関連して、背景が気になります。
- 締切済み
- 数学・算数
- 漸化式から非負を言いたい
a_(n+3)=5a_(n+2)+5a_(n+1)-a_n a_0=1 a_1=0 a_2=5 の漸化式から、すべてのｎについて、a_n≧０を言いたいのですが、帰納法をどう使えばいいでしょか。 直接示せたりするものでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 漸化式 a_n = (n+1)a_(n-1) - (n+1)a_(n-2) +1 の解き方
漸化式が解けなくて困っています. (漸化式): a_n = (n+1)a_(n-1) - (n+1)a_(n-2) +1 (条件) : a_1=1, a_2=4 この漸化式を解く方法，または，そのヒントをどなたか教えていただけないでしょうか？ 出来れば，高校生が分かるレベルでの解法でお願いします． あと，係数に変数が入っている漸化式は，数学的帰納法を使えない場合，一般的にどうやって解けばいいのでしょうか？ よろしくお願いします．
- 締切済み
- 数学・算数
- すごく特殊な漸化式、一見解けそうにも無いけど解けるもの
僕は、高校の数学にたずさわるものです。 長年、高校数学をやっていると、たとえば、普通の漸化式などは、見ていて飽きてきます。 そこで、アンケート的で申し訳ないですが、表題のような漸化式と、その解法を紹介していただけないでしょうか。 できるかぎり珍しいものが好みです。 僕のほうから、例を一つ。 a_(n+1)=2(a_n)^2-1 , a_1=c (ただし、-1≦c≦1) （解法） a_n=cos b_n とおくと、 cos b_(n+1)=2(cos b_n)^2-1=cos 2b_n (２倍角より) よって、 a_n=cos b_n =cos 2b_(n-1) =……=cos {b_1*2^(n-1)} ただし、cos b_1=cよりb_1=arccos c ただ、初項を区間(1,∞)に変化させればどうなるとか、漸化式の係数を変化させればどうなるかとかは、わかりませんので、それについてもアイデアがありましたら、教えていただきたいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 漸化式を解く問題なのですが。
この漸化式、nに具体的に数値をいれていくと簡単に法則性が見つかって、数学的帰納法で一般項は出るのですが。 式変形をして等比数列の形に持って行って解くなどの解き方はありませんかね？ 言い換えると 具体的に数値代入→規則性発見→帰納法で証明 以外の一般項の導き方はありませんか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます。 確かに無限に枝分かれしていく可能性がありますね。 模範解答では、一般項をa[n]=2^(n-1)と推測し、数学的帰納法で解くというものですが、 a[n]=2^(n-1),a[n+1]=2^nが決まったとき、a[n+2]>0なるものがただ一つに決まることは、x=a[n+2]として、 ３次方程式 a[n+2]^3 - 5a[n]a[n+2]^2 - 4a[n]a[n+1]a[n+2] + 6a[n+1]^3 = 0 が {x - 2^(n+1)}^2 {x + 3*2^(n-1)} = 0 となることから分かります。 a[n]>0という条件をはずしたらどうなるとか、 問題作成の根拠とか、 係数を変えたときはどうなるかとか、 はよく分かりません。