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Z会の問題、今まで見たこともない漸化式
wloopの回答
- wloop
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#4です。 >f[n]≠２であればf[1]≠２ >というのはすぐには分からないのではないでしょうか？ これは実際グラフを書いてみないとわからないと思います。 グラフを書いてみてください。 x≧0の範囲でy=g(x)のグラフを書くと、x=0,2^(1/2)-1,2の３点が 不動点（y=xとの交点）であることが分かります。 g(x)はx>2で減少しますが、x>2でg(x)=2^(1/2)-1となる点 をx0で表します。値はx0=12.789…です。 以下はy=g(x)とy=xのグラフ 及び漸化式f[n]=g(f[n+1])からわかることですが （fに関する漸化式を使ってｆの値をもどす手順ですが まずy=g(x)にx=f[n]を代入しy=g(x)上の点Ａ(f[n],f[n-1])をもとめます。 f[n-1]がy座標としてもとまります。次にその点からx軸に平行に線を引きy=xとの 交点Ｂ(f[n-1],f[n-1])を求めます。その交点Ｂからy軸に平行に線を引きy=g(x) との交点Ｃを求めるとその点Ｃは(f[n-1],f[n-2])となりf[n-2]がy座標として もとまります。再度Ｃ点からx軸に平行に線を引き... と同じ操作を繰り返すと順にf[n-1],f[n-2],f[n-3]…ともとまります。） a[n]＞０よりf[n]＞０の場合のみ考えます。場合わけして考えます。 （１）０＜f[n]＜2^(1/2)-1の場合はｆに関する漸化式で ｆの値をもどしていくとその値は上から０に近づくことが わかります。したがってf[1]≠2。 （２）f[n]=2^(1/2)-1の場合は、これは不動点ですので f[1]=f[n]≠2。 （３）2^(1/2)-1＜f[n]＜2の場合、この場合はfに関する漸化式で ｆの値をもどしていくとその値は下から２に近づくことが わかりますが極限の値として２になるわけで有限回では ２の値に戻りません。したがってf[1]≠2。 (ここも丁寧にいうとめんどうかも知れませんが、似たような状況として はじめに0＜s(n)＜1にある値が漸化式s(n-1)=s(n)^2つまり二次関数で 表される漸化式でsの値を戻していく場合を考えてください。 s(n-r)=(s(n))^(2^r)となり０に収束しますが有限回では０になりません。 実際(x,y)=(2,2)近傍ではg(x)は-1/2・(x-2)^2+2と二次関数で近似できます。） （４）f[n]=2の場合は、不動点ですから漸化式でｆの値を もどしても値はかわりません。したがってf[1]=f[n]=2。 （５）2＜f[n]＜x0の場合、この場合は2^(1/2)-1＜f[n-1]＜2となるので ｆの値をもどしていく操作は（３）に帰着しますので有限回では ２の値に戻りません。したがってf[1]≠2。 （６）f[n]=x0の場合、f[n-1]=2^(1/2)-1となり以降のｆの値を 戻していく操作は（２）に帰着します。したがってf[1]=f[n-1]≠2。 （７）x0<f[n]の場合、０＜f[n-1]＜2^(1/2)-1となり以降のｆの値を 戻していく操作は（１）に帰着します。したがってf[1]≠2。 以上よりf[n]≠2ならf[1]≠2がわかります。つまりf[1]=2となるのは 値の変えない数列：f[n]=2の場合のときのみというのが分かります。 文章で説明すると長くなりますがグラフをみると明らかだと思います。 漸化式が一般の非線形な式で表されているので一般項を式で表すのは 難しいと思われますが、初期条件から、求める数列が漸化式の不動点 にあたる特別な場合なので一般項が簡単にあらわせたのだ と思います。
noname#103103
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