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Z会の問題、今まで見たこともない漸化式
wloopの回答
- wloop
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#2さんのいわれるとおり関係式が同次式なので a[n+2]^3 - 5a[n]a[n+2]^2 - 4a[n]a[n+1]a[n+2] + 6a[n+1]^3 = 0 をa[n+1]^3で割ります。 そうすると連続する数列の比をf[n]:=a[n+1]/a[n]で定義し、 式を整理すると f[n]=f[n+1]・(5・f[n+1]+4) /(f[n+1]^3+6) =g(f[n+1]) の関係が得られます。f[n+1]からf[n]が決まる式です。 ただしg(x):=x・(5・x+4)/(x^3+6) ここで、y=g(x)とy=xのグラフを書いてやるとこれらのグラフより f[n]から逆に戻ってfの初期値をもとめることができます。 点(x,y)=(2,2)はy=g(x)とy=xとの交点で関数g(x)による変換の ”不動点”になっています。これは上の関係式をf[n]=g(f[n+1])満たし ているものの中に値を変えない数列がf[n]=2があることを意味します。 問題の数列の初期条件より初項はf[1]=2とですので、ちょうど与えられ た初項と関係式f[n]=g(f[n+1])を満たすものは上で述べた値を数列f[n]=2だとわかります。 上の述べたグラフからあるnでf[n]≠2であればf[n]から逆に戻って有限回で fの値が2になることはないとわかるのでf[n]≠2であればf[1]≠2だとわかります。
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