変数が1つなのに解けない式・・・

質問

f(x)=A{log(f(x))+1}という式のf(x)を求めることができません。
どのようにして求めるのでしょうか？

回答No.1

masa072 · ベストアンサー

両辺を微分すると，
f'(x)=A*(f'(x)/f(x))
よってf(x)=Aとなります。
これを元の式に代入すると，
A=A{logA+1}
A>0ですから，logA+1=1
よって，logA=0,A=1です。
以上から，f(x)=1（定数関数）

高校範囲の知識のみだとこうなります。
おもしろい問題ですね。

回答No.2

PRFRD

No.1 の回答は間違っています．
> f'(x)=A*(f'(x)/f(x))
> よってf(x)=Aとなります。
の部分が間違っており，f が定数関数ならば常に等式が成り立ちます．
＃また，f が微分不能の場合も考慮されていませんね．

さて，本題です．結論から言えば，その方程式の解は
　f(x) = -A W(-1/(Ae))
となります．ただし右辺のWはLambertのW関数（後述）です．
＃より正確に言うと，各点xにおいて，Wは任意の分枝を取れます．

以下これを導出します．この方程式にはf(x)以外の部分にxが現れないので，
　k = A ( log(k) + 1 )
を満たす任意の定数 k （複数ありうる！）を，
各点 x で取るような関数が，求める関数 f となります．
そこで，以下 k = A ( log(k) + 1 ) を解くことを考えます．
変数変換 k = -A t を行って計算していくと：
　-A t = A (log(-A t) + 1)
　-t = log(-t) + log(A) + 1
　t + log(-t) = log(1/(Ae))
　log(-t exp(t)) = log(1/(Ae))
　t exp(t) = -1/(Ae)
となります．ここで最後の等式に注目しますが，
y exp(y) = x の逆関数y = W(x)はLambertのW関数と呼ばれ，
初等関数で書けないことが知られています．
この関数を用いると，
　t = W(-1/(Ae))
となり，t を戻して目的の式を得ます．