2次不等式の解について

質問

2次方程式　f(x)=x^2-2x-a^2+2a　について考えよう。
f(x)=0　の解は　x=a,x=2-a　であり、

『a-(2-a)=2(a-1)　であるから2次方程式f(x)＜0　の解は

a<1のとき　
a=1のとき　解なし
a>1のとき　2-a

である。』

という問題なのですが、f(x)=0の解は出せるのですが、『』内の計算が何をやっているのか全然分からないんです。2次「方程式」は解けるのですが2次「不等式」になったら考え方がイマイチよく分からないのですが、どう考えればいいのでしょうか？

回答No.1

noname#33973 · ベストアンサー

グラフを書いてみましょう。
f(x)の二次の係数が正ですから下に凸のグラフですね。
aと2-aがf(x)=0の解ですから、グラフはaと2-aでx軸と交わります。
ただし、この段階では、aと2-aはどちらが大きいか(どちらが右でどちらが左か)判りません。
そこで、aと2-aの差a-(2-a)=2(a-1)を取って場合分けするわけです。
aから2-aを引いて負であれば、すなわち、2(a-1)<0⇒a<1であれば、a<2-a。
2(a-1)=0⇒a=1であれば、a=2-a
2(a-1)>0⇒a>1であれば、2-a<a
となり、aと2-aの位置関係がはっきりするので解が求まります。

お礼

よく理解できました！
ありがとうございます！

回答No.3

hinebot

> a-(2-a)=2(a-1)　であるから2次方程式f(x)＜0　の解は
>
> a<1のとき　
> a=1のとき　解なし
> a>1のとき　2-a

２次不等式f(x)<0 の解は
a<1のとき　a<x<2-a
a=1のとき　解なし
a>1のとき 2-a<x<a
ですね。

まず、２次方程式 f(x)=0　と２次関数 y=f(x)の関係ですが、
方程式f(x)=0の解は、２次関数y=f(x)とx軸との交点のｘ座標になります。
次に　２次不等式 f(x)<0 の解は、グラフで考えると、２次関数y=f(x)のグラフ（放物線）において、y<0となるｘの範囲を求めることです。
y<0 となる範囲というのは、つまり、x軸より下側にある範囲ですね。
逆に f(x)>0 なら、y>0となる範囲で、今度はｘ軸より上側になる範囲です。

さて、本問　y=f(x)=x^2-2x-a^2+2a について考えてみましょう。
x^2の係数が正ですから、y=f(x)のグラフは下に凸な放物線です。
２次不等式 f(x)<0 を考えたとき、y<0 つまり、x軸より下側にあるときのｘの範囲はどうなるでしょうか？
グラフを書けば一目瞭然とは思いますが、放物線とx軸との２つの交点の間の範囲であることが分かると思います。
ここで、２つの交点のｘ座標、つまり２次方程式f(x)=0の２つの解、x=aとx=2-aの大小関係が問題になってきますね。
あとは、#1さんの解説どおり、aと2-aの差を取り、その結果によって大小関係を場合分けすればよいわけです。

お礼

やはりグラフを描くのが大事なんですね！
ありがとうございます！

回答No.2

h_i_r_o_b_o_w

簡単に言うと、y=f(x)のグラフとy=0（X軸）との交点がどうなっているか調べています。

a=1の時はX軸との交点は1点、つまり接しています。
それ以外の時はX軸とは2点で交わっているのですが、どちらの点が小さいかを調べる必要があります。

二つの交点をa1とa2として、a1<a2の場合、f(x)<0の解は
a1<x<a2となります。

a<1の時はaが小さい（左側の交点）ので
　a1=a、a2=2-a
　つまり、a<x<2-a

a>1の時は2-aが小さい。
　a1=2-a、a2=a
　2-a<x<a

です。

a=1の場合は接しているので、f(x)は必ず
f(x)>=0（０以上）の値をとるので、解なしです。

不等式
　f(x)<0
を解く場合は、
　y=f(x)のグラフとy=0のグラフ（X軸）を図示してみて範囲を考えるとわかりやすいですよ。

お礼

グラフ書いてみると確かに分かりました！
ありがとうございます！