方程式と不等式

質問

こんばんは。
よろしくお願いいたします。

aは定数とする。次の方程式・不等式を解け。
(1)a^2x=2ax+a-2
(2)a(x+1)＞x+a^2

(1)の答えは
a≠0かつ a≠2のときx=1/a
a=0のとき解はない　a=2のときすべての数

(2)は
a＞1のとき x＞a, a=1のとき解はなし
a小なり1のとき x＜a

ですが、このような問題をどのように解いたらいいのかわかりません。
初めてみる問題形式なのでよろしくお願いいたします。

回答No.2

refrail · ベストアンサー

（１）もいきます。

移項してxでくくって
a(a-2)x=a-2
です。
さっきと同じようにa-2で割るとき、a-2が0かどうか注意しなくてはいけません。でも今回は等式なので、正か負かで悩む必要はありません。

a=2のとき上の式に当てはめると
0・x=0
です。これはxに何を入れても成り立ちます。だからxはなんでもOKです。
今回はaでも割りたいですね。本来ならばx=(a-2)/a(a-2)
なんですから。だからaが0でないかも気を遣います。
もし今回a=0だと、問題の条件式に代入すると
0・x=0-2
ですね。
つまり　0=-2　だと。ありえませんね。これを満たせるxなんてあるわけないので解なしです。
そしてaが2でも0でもないとき、安心してa(a-2)で割ることができ、約分して　x=1/a　という答えが出るのです。

今回のポイントはやはり割る時に0じゃないか気をつけるということです。
そして0で割ることになってしまいそうな時は、それを元の式に代入してケースバイケースで考えるのです。
慣れないうちは何度かやってしまうミスなので気をつけましょう！！

お礼

refrailさん
たびたびすみませんでした。
本当にありがとうございます☆

すごくためになりました。

回答No.1

refrail

（２）からいきます。

a(x+1)>x+a^2
展開して
ax+a>x+a^2
移項してxでくくって
x(a-1)>a(a-1)

このときa-1で割ることに関して注意しなければなりません。
というのも、０で割ることは数学的に定義されないからです。つまり、０じゃ割っちゃいけないということです。
だからもしa=1ならa-1で割ってはいけません。このときx・0=1・0ってなっちゃいますよね。今回a=1のとき、元の問題文の式に当てはめると
x+1>x+1です。こんなの変ですな。解なしです。
a>1のとき、a-1で割って答え　x>a　です。
ただしa<1のとき、a-1は負なので、割った時に不等号がひっくり返っちゃいます。だからx<aなのです。

・不等式の時は割るものが正か負かに注意しましょう
・０で割ることはダメなので割る時に０かどうか注意しましょう

気をつけるべきはこの二点です。

お礼

refrailさん
とてもご丁寧にありがとうございます☆
おかげさまでわかってきました。