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波動方程式の解のうち2次式が省かれるのはなぜ?

波動方程式の解のうち2次式が省かれるのはなぜでしょう。 変数分離法で解けるのはわかるのです。けれど、 時間tと位置xの波動方程式 ∂^2 f /∂ t^2 = - a ∂^2 f /∂x^2 だとして、 f(x,t)=x^2 - a t^2 のような解も成り立つはずですが、これに触れている教科書等を 見たことがありません。三角関数の和の話ばかりです。 なぜでしょう? 「波動」にならないから、といった、答えの対象を波動に限定しているからでしょうか? しかし、数学の問題だとすると、 境界条件さえ満たせばこれも解だと思うのです。 何か単純な勘違いをしているのでしょうか?

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みんなの回答

  • 回答No.8
  • osn3673
  • ベストアンサー率57% (11/19)

ANo.7 の訂正 L^2 ≪ L だから 1 ≪ L でなく L ≪ 1 です (^^;).

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  • 回答No.7
  • osn3673
  • ベストアンサー率57% (11/19)

ANo.6 の訂正 回答中に g(x) ( g(0) = g(L) = 0 ) を x^2 ( 1 ≪ L ) に 変更して境界条件の変更を忘れました. f(L, t) = L^2 です.

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  • 回答No.6
  • osn3673
  • ベストアンサー率57% (11/19)

まだ受付中なので補足します. 簡単のため 0 ≦ x ≦ L で振動する弦を考え,  f(x, 0) = x^2  (∂f/∂t)(x, 0) = 0  f(0, t) = f(L, t) = 0 とします. t < 0 で外力を加えて変形させていた弦の外力を除くと 弦は自由振動を始め,t > 0 での f(x, t) は偏微分 方程式を解いて求めます.  ∂^2 f /∂ t^2 = - a ∂^2 f /∂x^2 は外力のないときの式です.t > 0 でも外力を加えて 弦の形を強制的に f(x,t) = x^2 - a t^2 のような形に しているのは振動とはみなせません(どんな形にでも できます). t > 0 で加える外力は通常 x = 0 や x = L のような境界だけです. 弦の動作のイメージは解析的な解より,差分方程式で 近似した式による時間発展を見る方がよいと思うの ですが,お薦めの資料を見つけられませんでした. 波動方程式でなく,熱伝導方程式のクランク=ニコル ソン法等による時間発展の式は参考 URL に示されて います.

参考URL:
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%AE%E5%88%86%E6%B3%95

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質問者からのお礼

アドバイスありがとうございます。 数学の偏微分方程式の分類としての波動方程式での解に2次式があることは、先にアドバイス頂いた方々のおかげで正しいと思っています。 ただ、物理として「波動現象」をモデル化する際に波動方程式を使っただけであり、常にもとの自然現象に戻るべき(場合によっては波動方程式も満たさないため、波動方程式は近似モデルとなる。例:振幅が非常に大きく「力」がフックの法則を満たさない場合など)という立場だと、2次方程式は意味がないのかもしれません。 私の理解がたりないのかもしれませんが、外力を加えなくても2次式は波動方程式を満たすと思っています。このときの外力とはバネなどフックの法則をみたし波動方程式の定数vを決めている力以外の力の意味です。t=0で2次式を満たすf(x,0)とf'(x,0)を与えてあげれば、2次式も外力のない場合の波動方程式の解となっていると思います。けれど、2次式だと振幅が無限に大きくなるので、あるところでフックの法則をバネが満たさなくなり「波動方程式自体が成り立たなくなり」、そこで振幅が小さくなるのだと思いはじめました。

  • 回答No.5
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

∂^2 f /∂ t^2 = - a ∂^2 f /∂x^2 が実波動方程式だとすると、 a < 0 なんでしょうか? 紛らわしいので、-a = c^2 と置きますね。 確かに、微分方程式 ∂^2 f /∂ t^2 = c^2 ∂^2 f /∂x^2 には f(x,t) = x^2 + c^2 t^2 という解があります。 しかし、微分方程式の解は、方程式だけでは決まりません。 常に、初期条件や境界条件と併せて解くものです。 教科書に解 f(x,t) = x^2 + c^2 t^2 が出てこないのは、 これが出てこないような条件の下に解いているからだと思います。

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質問者からのお礼

アドバイスありがとうございます。 おっしゃるように「これが出て来ない条件の下に」が理由だと思い始めています。 また、波動という言葉を使ったときに三角関数で表されるものだけを波とみなしてしまうと、 波動方程式の解の一部分のみに限定することになります。 けれど、教科書ではそのような例を扱いたいので2次式が出てこないのだと思いました。

  • 回答No.4
  • osn3673
  • ベストアンサー率57% (11/19)

すみません.式が不足していました. -------------------------------------------- > 境界条件さえ満たせばこれも解だと思うのです。 (1) 境界条件 f(0, t) = - a t^2, f(x, 0) = 0 を与えて   f(x, t)=x^2 - a t^2  が求まるでしょうか? (2) 初期値 f(x, 0) = x^2, (∂f/∂t)(x, 0) を与えて   f(x, t)=x^2 - a t^2  が求まるでしょうか?

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質問者からのお礼

一つ前の回答へのお返事とも関連しますが、2次式だと変数分離法の時の 2つの式(それぞれxとtの微分方程式)を満たしません。 けれど、元の偏微分方程式は満たしていると思うのです。

  • 回答No.3
  • osn3673
  • ベストアンサー率57% (11/19)

> 境界条件さえ満たせばこれも解だと思うのです。 (1) 境界条件 f(0, t) = - a t^2 を与えて   f(x, t)=x^2 - a t^2  が求まるでしょうか? (2) 初期値 f(x, 0) = x^2 を与えて   f(x, t)=x^2 - a t^2  が求まるでしょうか?

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質問者からのお礼

アドバイスありがとうございます。 (1)や(2)も「求まるか」と問われれば、求まる気がするのです。 そもそも x^2 -a t^2 が波動方程式を満たしているので、 「求まる」っていう言葉が「変数分離法で求まるか」なら、 もとまりませんが、波動方程式を変数分離法以外で解いてはいけない、 とは決まっていないと思うのです。

  • 回答No.2
  • reiman
  • ベストアンサー率62% (102/163)

「gは後退波」は「hは後退波」の書き間違い 波動方程式はvを正定数として ∂^2f(x,t)/∂t^2=v^2・∂^2f(x,t)/∂x^2 と書くべきでしょう そうするとこの方程式の一般解はg,hを任意の関数として f(x,t)=g(x-v・t)+h(x+v・t) です これを偏微分して波動方程式を満たすことを確かめてください あなたの言われる解 x^2+v^2・t^2=(x-v・t)^2/2+(x+v・t)^2/2 はこの一般解に含まれます ちなみにgは進行波でhは後退波です

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質問者からのお礼

進行波と後退波の話は、境界条件と因果律?でどちらかを省く 場合もあるけど、両方が混合されている場合ももちろんある。 定在波はその代表例でしたっけ。

  • 回答No.1
  • reiman
  • ベストアンサー率62% (102/163)

波動方程式はvを正定数として ∂^2f(x,t)/∂t^2=v^2・∂^2f(x,t)/∂x^2 と書くべきでしょう そうするとこの方程式の一般解はg,hを任意の関数として f(x,t)=g(x-vt)+h(x+vt) です これを偏微分して波動方程式を満たすことを確かめてください あなたの言われる解 x^2+v^2・t^2=(x-vt)^2/2+(x+vt)^2/2 はこの一般解に含まれます ちなみにgは進行波でgは後退波です

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質問者からのお礼

波動方程式ではvを正定数とすべきですね。おっしゃるとおりです。 私の間違いです。 f(x,t)=g(x-vt)+h(x+vt)という書き方は、目からうろこでした。 アドバイスありがとうございます。 確かに、波動の話のときにはまずこの形が教科書には出てきますよね。 一般解に含まれるということで、安心しました。 波動方程式を数学の偏微分方程式とみなし、他の物理的な制限等は別の話とすれば、 確かにこの種類の偏微分方程式の解になっていますよね。 つまり、変数分離法で得られる解以外の解がある、ということで納得しました。

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