xの関数f(x)に対して、式

質問

xの関数f(x)に対して、式
f(x)=-f(-x)
および式
f(2x)=(a×4^x+a-4)/(4^x+1)
が成り立つ。ただし、aは実数の定数である。

このときのaの値と、
f(x)の逆関数についてf^-1(3/5)の値の求め方を教えてください。
回答よろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

何がわからないですか？

f(2x)= ... の式にxの代わりに(x/2)を代入すると
f(x)=(a*(2^x)+a-4)/((2^x)+1) …(■)
-f(-x)=-(a*(2^(-x))+a-4)/((2^(-x))+1)
=-((a-4)2^x+a)/(1+(2^x))
=f(x)
分母が同じなので分子を比較して
　a=-(a-4),a-4=-a
これを満たすaは　2a=4 ∴a=2
a=2を(■)に代入
f(x)=2((2^x)-1)/((2^x)+1)
f(x)=(3/5)としたときのxがf^(-1)(3/5)になります。
2((2^x)-1)/((2^x)+1)=3/5
X=2^x (>0) とおいて
10(X-1)=3(X+1)
7X=13
X=(2^x)=13/7
∴x=log_[2}(13/7)=f^(-1)(3/5)
(底が2の対数)

お礼

回答ありがとございます。とてもわかりやすくて助かりました。