１次近似式の解き方の途中計算～答えについて

質問

テイラーの定理より1近似を求めていますが、解き方が分からない問題が6問あったので途中計算～答えについて教えてください。お宜しくお願いします。

(1)f (x) = sin (x) 　x = π/3における 1次近似式?

(2)f (x) = √x^(1/3) 　x = 1 おける 1次近似式?

(3)f (x) = ( 1 + x)^4 x = 0における 1次近似式と　1.03^4 の近似値?

(4)f (x) = √( 1 + x ) x = 0における　1次近似式と　√0.9 の近似値?

(5)f (x) = tan (x) x = 0における　1次近似式と　tan0.3 の近似値?

(6)f (x) = log ( 1 + x ) x = 0における　1次近似式と　log1.2 の近似値?

答え
(1)1/2x + √3+/2 - π/6
(2) (x /3 )+ (2/3)
(3)1 + 4x 近似値(1.12)　
(4)1 + (x/2) 近似値(0.95)
(5)x 近似値(0.3)
(6)x 近似値(0.2)

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

「テイラーの定理より１近似を求める」てことは、
f(x) ≒ f(a) + f'(a)・(x-a) とすること。
"テイラーの定理" が何だかを調べれば、書いてある。
「接線を求める」でも同じ。

f(a) と f'(a) を計算するだけです。
途中計算といえば、f'(x) の式を書いとくぐらいでしょう。

(1) 合ってる。{ 書き方は？　(1/2)x + (√3)/2 - π/6. }
(2) 違う。√x^(1/3) ≒ (1/6)x + 5/6. { それとも f(x) = x^(1/3) ？ }
(3) 合ってる。近似値は x = 0.03 を代入すればいい。
(4) 合ってる。近似値は x = -0.1 を代入すればいい。
(5) 合ってる。近似値は x = 0.3 を代入すればいい。
(6) 合ってる。近似値は x = 0.2 を代入すればいい。

補足

f(x) ≒ f(a) + f'(a)・(x-a)を使って解いてみましたが答えのようにうまくいきませんでした。
どのように式を変換するのかが分かりませんので教えていただけないでしょうか? 宜しくお願いします。

(1)sin(π/3)+COS(π/3)*x

(2)問題が間違えていました。x^(1/3)　　　x^1/3 + 1/3*x^(-2/3)

(3)(1+x)^4 + 4(1+x)^3*x

(4)√(1+x)+ 1/2*(1+x)^(-1/2)*x

(5)tan(x)+1/cos^2 *x

(6)log(1+x)+ (1/1+x)*x

回答No.3

alice_44

一次近似しようとしているのだから、
結果が x の一次式でない時点で何か変だと気づくべきです。
どうやったら一次式になるか？と考えると、
間違いを修正するヒントになると思うのですが…

(1)　sin(π/3) + COS(π/3) * x
それでは、f(x) ≒ f(a) + f'(a)・(x-a) とは違っています。
sin(π/3) + COS(π/3) * (x - π/3) なら、「答え」と同じです。

(2)　x^1/3 + 1/3 * x^(-2/3)
これも、f(x) ≒ f(a) + f'(a)・(x-a) とは違いますね。
貴方が書いたものは、f(x) + f'(x) です。
f'(x) の計算はできているような感じですから、目的の式どおり
f(a) + f'(a)・(x-a) {ただし a = 1} にしたらいいと思います。
{ 1^(1/3) } + { (1/3) * 1^(-2/3) } * (x - 1) です。
整理すれば、「答え」と同じになります。

(3)　(1+x)^4 + 4(1+x)^3 * x
(4)　√(1+x) + 1/2 * (1+x)^(-1/2) * x
(5)　tan(x) + 1/cos^2 * x
(6)　log(1+x) + (1/1+x) * x
今度は、f(x) + f'(x) * x になっていますね。
これも f(a) + f'(a)・(x-a) に直しましょう。
(3)　{ (1+0)^4 } + { 4(1+0)^3 } * (x - 0)
(4)　{ √(1+0) } + { 1/2 * (1+0)^(-1/2) } * (x - 0)
(5)　{ tan(0) } + { 1/cos(0)^2 } * (x - 0)
(6)　{ log(1+0) } + { 1/(1+0) } * (x - 0)
です。それぞれ、整理すれば「答え」と同じになります。

(1) が、一番惜しかった。a = π/3 であることが解るなら、
(2)?(6) も、考え方は同じです。
f(x) ≒ f(a) + f'(a)・(x-a) の a が何なのかを、
テイラーの定理に戻って考え直しておくことが必要でしょう。

回答No.1

Tacosan

自分で「テイラーの定理」って書いてるじゃん.