近似値を求める場合どこまで近似する？

質問

現在、「微分法の応用」の分野で近似値を求める問題をしていますが、近似式を使ってどこまで近似するべきなのかわかりません。これは大学受験用参考書に載っている問題です。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。

問題は
ｘ≒０のとき、(1+x)^(1/4)の一次の近似式をつくれ。また、その結果を用いて、(16.1)^(1/4)の近似値を求めよ、です。

(1+x)^(1/4)の一次の近似式は、(1+x)^(1/4)≒1+1/4x・・・☆
となり、これは私もできたのですが、
これを利用して(16.1)^(1/4)の近似値を求めると、
私は最後まで細かく、(16.1)^(1/4)≒2.003125と出したのですが、
解答は(16.1)^(1/4)≒2.00313となっていました。
これはおそらく私の解答2.003125を四捨五入、かまたはさらに近似したものだと思うのですが、答えが2.003125のような場合、これはさらに2.00313と近似（四捨五入）しなければいけないのでしょうか？問題文には小数点以下どこまでというような指定はありません。

数学では化学などの計算問題とは違って四捨五入したりすることがないので、近似値を求める場合どこまで近似すればよいのかわかりません。私は、☆式ですでに近似して2.003125なのに、それをまた近似して2.00313とすると近似を二度しているような感じがして不正確のような気がするのですが。

私の勉強不足なのですが質問する人がいないため、困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。

回答No.3

kentarou2333 · ベストアンサー

近似式の場合の信頼性は与えられた数字の精度ではなくて、近似式の x の大きさによって評価する必要があるので注意が必要です。

近似式は、下記のようになります。

f(x) = a_1 + a_2 x + a_3 x^2 ...

今回の場合の x は 0.00625 です。そのため、3 つめの項は x^2 ≒ 0.000039 であるため、だいたい小数点以下に４つほど０が続く程度の大きさを持つ事が分かると思います。
（より詳細には、a_3 の大きさを評価してから行うべきですが、そこまでやったら、一次近似の意味がないですよね）

とすると、小数点以下５桁目以降というのは、２次近似以降の影響を強く受けるであろう事が想像できるため、あまり意味を持ちません。

そういった意味で、小数点以下４桁目までは信頼ができて、５桁目からはちょっと怪しい数字になってきます。

そのため、６桁目はまったく意味を持たないであろう事から四捨五入となるわけです。

ただ、実際はもっと大雑把に考えて、a_2 x の有効桁数は、x が 0.1 だったら１桁、x が 0.01 だったら２桁、x が 0.001 だったら３桁というように考える事が多いようです。

で、質問者の一番知りたいテストではどうなのかというのですが、これは先生と授業によるという事になってしまうと思います。

基本的には、四捨五入前の値でも問題ないと思いますが、このあたりの有効桁数の議論を、授業中に丁寧にされていた場合には×にされてしまう場合もあるかとは思います。

お礼

kentarou2333さま、御回答いただきありがとうございました。近似式の'_'の意味はなんでしょうか。テキストに載っている式と異なるので、せっかくですが、御回答の最初から意味がとれませんでした。

近似式については四捨五入も可ということですね。ありがとうございました。

回答No.2

ymmasayan

今回の例ではたまたま桁数が少ないので迷いますが、延々と続く場合
必ずどこかで切る必要がありますね。
この場合四捨五入が最も合理的です。
指定が無いので４桁でも間違いではないと思いますが、
小数点以下の有効数字３桁で充分でしょう。
どうせ近似値ですから。
本当は２次の項を出してみて誤差評価するべきなのかも知れません。

余談ですが技術屋の世界では有効数字３桁が常識です。
電卓など無かった時代は掛け算は計算尺（知らない人が多い）で
有効数字３桁出すのがやっとでしたから。

お礼

ymmasayanさま、御回答いただきありがとうございました。
考えてみれば、今回はたまたまわりきれたけれども、延々と続く場合もありますよね。その場合は四捨五入するのですね。ありがとうございました。

回答No.1

パんだ パンだ（@Josquin）

2.003125 を四捨五入したものでしょうね。
有効数字が３桁なので、２＋α の α の部分を３桁にしているのではないでしょうか。
数学のテストでは 2.003125 でＯＫだと思います。

ちなみに、関数電卓で計算すると、
2.0031177…
になりましたので、確かに不正確さが増しています（少なくともこの問題の場合には）。

お礼

Josquinさま、早速ご回答いただきありがとうございました。やはり、四捨五入しているのですね。
＞有効数字が３桁なので
というのは16.1のことを言っておられるのですよね？

でも、テストでは2.003125でも良いということですね。そこが一番確かめたかったところでもあります。

お忙しいところありがとうございました。