近似値の計算方法をおしえて下さい。

質問

参考書に
「近似値の加法・減法は、有効数字の末位の最も高い位にそろえてから、計算する」とあり、例題として
近似値9.44＋12.7＋0.613の計算は、
少数第1位未満を四捨五入して、9.4＋12.7＋0.6＝22.7
とあります
ところで、上の式で、計算を先にして、次に少数第1位未満を四捨五入して（答え：22.8）では、どうして、いけないのでしょうか？

回答No.4

pancho · ベストアンサー

２番目の回答をしたものです。補足を読みました。

「kihon」さんは小数点以下第２位が誤差を含んでいるとされていますが、実測値では、最後の桁が誤差を含んでいるのが通常です。

ものさしで長さを測ることを例にすると、私たちが通常使っているものさしは、ミリの単位までのメモリがついています。そして、ものさしの精度として、普通は「誤差１ミリメートル以下を保証」とされている筈です。（たまに、２ミリ以上のものもありますが．．．）
そのものさしで、私たちは「０．１ミリ」単位で読み取ります。「１ミリ」以下の値は、目見当で判断していて、例えば「１５．８ミリ」とする訳です。この数値は、（ものさしとしての誤差をある程度無視し）目見当での「０．１ミリ」単位での誤差を含んでいることみなすのが一般的です。
つまり、最後の桁が誤差を含んでいるのです。

この例で納得していただけたでしょうか？

ついでに、「０．１」に「０．０１」を何回足しても「０．１」のままになるという矛盾を指摘していますが、例えば１メートルの棒（誤差１ミリ）を１００本つなげて１００ｍにするときに、接続部分が０．１ミリ（誤差０．１ミリ）の接着剤であるので、１０００（ミリ）＋０．１（ミリ）＊９９で１０１０（ミリ）になるとは、実際上考えないということなのです。
大きな誤差があるものに小さな誤差のものを多数付け加えることが、実際上意味を持たないと考えてください。

以上。

お礼

お返事、ありがとうごさいます。
ものさしの例で、誤差の意味がわかりました。

回答No.3

noname#7269

こんにちは！何を勉強している、年齢がどの程度の方か分かりませんが、確かに「２２．８と２２．７が同じ」は納得がいかないかもしれません。
この問題はよく質問されるのですが、簡単に言うと
四捨五入は誤差を含んでいることは分かりますよね。
最初に四捨五入してからたすと、誤差を含んでいるもの同士の足し算になるので誤差の部分が大きくなるのです。
それを防ぐには第１位四捨五入なら第３位でやっといて足し算をすれば問題ないと思います。
私は数学をしているのでこう考えています。
ただ、物理やさんは、先にやっちゃうんじゃないですか。
この程度の誤差は問題ないと考えるのでしょうね。
（実際に欲しいのは整数部分じゃないのかなー）

お礼

お返事、ありがとうございした。

回答No.2

pancho

「kihon」さんは、近似値の計算がなぜ必要か解りますか？

純粋数学で考えれば、すべての計算を正確に行うのが正しいのですが、例えば物理では実測値に基づく数値を計算する必要がある場合、すべての数値の少なくても最後の桁は誤差を含んでいると考えます。従って、「有効数字の末位の最も高い位」以下は、誤差を含んだ桁よりも小さい数値なので、正確に計算することに意味が無いということです。
だから、質問の数値を正確に計算して「２２．８」としようが、近似値をとってから「２２．７」としようが、どちらにしても最後の桁は誤差を含んでいるのだから、物理という立場にとっては、同じだということなのです。ここが理論としての数学と、実学としての物理などの大きな差だと思ってください。

以上。

お礼

お返事、ありがとうございます。

ただ、この問題の場合の、（誤差が含まれる）最後の桁は、小数第2位の位になるのでは、ないでしょうか？

補足

この例題の場合、誤差を含んでいるのは、小数第2位以下になるので、「22.8」と「22.7」とは、同じとは、言えないのないでしょうか？
（すいません、『補足』を　お礼の欄に書いてしまいましたので・・・）

回答No.1

rei00

> 計算を先にして、次に少数第1位未満を四捨五入して
>（答え：22.8）では、どうして、いけないのでしょうか？
　いけなくはないと思いますが，その必要がないということじゃないでしょうか。

　近似値ですから，正確に出すよりも早く簡単に計算できることが必要だと思います。それはどちらの方法でしょうか？私には参考書の方法が，より早く簡単な方法に思えますが。

　いかがでしょうか？

お礼

お返事ありがとうございます。

あれから、もう少し考えてみましたが、別の例題で考えたら、
近似値1.0＋0.01　なら、1.0＋0.0＝1.0
近似値1.0＋0.01＋0.01　なら、1.0＋0.0＋0.0＝1.0
近似値1.0＋0.01＋・・・は、1.0＋0.0＋・・・＝1.0
で、いくら足しても、答えは、1.0になってしまいます。
どこが、おかしいんでしょうか？

補足

あれから、もう少し考えてみましたが、別の例題で考えたら、
近似値1.0＋0.01　なら、1.0＋0.0＝1.0
近似値1.0＋0.01＋0.01　なら、1.0＋0.0＋0.0＝1.0
近似値1.0＋0.01＋・・・は、1.0＋0.0＋・・・＝1.0
で、いくら足しても、答えは、1.0になってしまいます。
どこが、おかしいんでしょうか？

（すいません、質問を　お礼　の欄に書いてしまったので、書き直しました）