テイラー近似式について

質問

テイラー近似式について教えてください。
f(x)=1/1+x のテイラー近似式がわかりません。参考書などで調べてみたんですがテイラー近似式という言葉すら乗っていませんでした
テイラー展開はのっていたんですが、テイラー展開とテイラー近似式は同じものなんでしょうか？
途中式もお願いします！

回答No.4

htms42 · ベストアンサー

＞教科書にはテイラー近似式を求めよしか書いてありませんでした。
見落としはありませんか。数式で書かれているとは限りません。
「ｘが小さい時」、「ｘがａに近い時」、・・・というような記述が必ずあるはずです。

もし本当に何も書かれていないのであれば、自分で設定する必要があります。
「何も書かれていなければｘ＝０の付近でのことである」とは言えません。
「ｘ＝ａの付近で成り立つ近似式を求める」とします。

テイラー展開は無限個の項が出てくる多項式展開です。それを有限の項数で打ち切れば全て近似式です。第ｎ項で打ち切った式を書けばいいです。

ついでに
曲線を接線で近似すれば第一近似です。これが一次微分までで打ち切ったテイラー展開の式です。
曲線を放物線で近似すれば二次微分までで打ち切ったテイラー展開の式になります。

物理では近似式を多用します。
「ｘ＜＜１の時」というような条件が必ず書かれています。

お礼

ありがとうございます！
これでテストは大丈夫そうです(´▽｀)

回答No.3

htms42

式を近似するというのは「ある数値を入れた時にほとんど同じような値を与える初めの式よりは簡単な式を求める」という事です。
どういう数値を入れるかが変われば式も変わってきます。
あなたの質問にはどういう数値について考えているのかが示されていません。
式は決まりません。

テイラー展開は多項式展開です。
その表現をどういう風に使うかはあなたの方の問題です。
多項式の展開をさらに簡単にしたいというのであれば有限の項数で打ち切るという事です。
それはどういう数値で考えているかによって変わります。
「ほとんど同じ」はどの程度同じであればいいのかによっても変わってきます。

ｆ（ｘ）＝１／（１＋ｘ）
Ｘ＝０の近くで考えているのか、ｘ＝１の近くで考えているのか、ｘ→∞　で考えているのか、・・・

もし「ｆ（ｘ）の近似式はｇ（ｘ）＝１－ｘである」とだけ書かれている記述があれば誤りです。
ｘの値についての記述が抜けているからです。

補足

回答ありがとうございます。
教科書にはテイラー近似式を求めよしか書いてありませんでした。
特に指定がない場合はa＝０でのテイラー展開、つまりマクローリン展開でいいんですよね？

回答No.2

alice_44

公比 -x の等比数列の和.

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

morimot703

f(x)をテイラー展開して、ｘのN乗の項で打ち切った時、
これを、N次のテイラー近似式と言うと思います。
したがって、何次までか、指定があるはず　です。
で、式を見ますと、たぶん、ｘ＝０でのテイラー展開、つまり、マクローリン展開でいい
と思いますよ。
尚、マクローリン展開は、f(x)＝１＋ｘf'(0)＋ｘ^2ｆ”(0)/2! +x^3 f'''(0)/3! + 、、、
です。
1/1+x　の１階微分が、わかるのなら、あとは、丹念に計算するだけです。
ヒント：　非常に綺麗な形になります。

お礼

詳しい説明ありがとうございます。