テイラーの定理と近似値

質問

f(x)=√xに対してテイラーの定理を利用したときのf(9.2)(=√9.2)の近似式を教えてください。
また、実際にn=0,1,2,3,4,5,6,7,8のそれぞれの場合についてこの式の値を計算し、√9.2の正確な値と比較してください。
まったく解き方がわからず困ってます。途中の計算式も交え、どうしてそうなるのかわかりやすく教えていただけると助かります。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#1です。

A#1の補足の質問について

>(1)．[/2][/8][/16]・・・という数字はどうやって出てくるのですか?
自身でテイラー展開の計算をしたのであればルートのn次導関数の計算から
分母に2^nが出てきませんか？
f(1+x)=√(1+x)=1+x/2-x^2/8+x^3/16-(5x^4)/128+...
f(1+x)=(1+x)^(1/2),f(1)=1
f'(1+x)=(1/2)(1+x)^(-1/2),f'(1)=(1/2)
f''(1+x)=(1/2)(-1/2)(1+x)^(-3/2),f''(1)=-(1/4)
f'''(1+x)=-(1/4)(-3/2)(1+x)^(-5/2),f'''(1)=(3/8)
f''''(1+x)=(3/8)(-5/2)(1+x)^(-7/2),f''''(1)=-(15/16)

>(2)．テキストの問題を応用すると、近似式としてf(9)+(f^1(9))/1!(9.2-9)+(f^2(9))/2!(9.2-9)^2+ (f^3(9))/3!(9.2-9)^3+・・・+(f^(n)(4))/n!(4.3-4)^n　が、得られるようになると思うのですが、これは教えていただいたものとは別のやり方ですか？
本質的には変わりません。最終的な式を変形すれば同じ式になります。
√9.2=√(9+0.2)なのでf(x)=√x,x-9=0.2<<1として
f(x)をx=9の周りにテイラー展開すると
f(x)=√x=f(9)+f'(9)/1!*(x-9)+f''(9)/2!*(x-9)^2 + …
f(9.2)
=√9.2=f(9)+f'(9)/1!*(9.2-9)+f''(9)/2!*(9.2-9)^2 + …
　√9.2=3+(1/6)*0.2-(1/108)/2!*(0.2)^2+ …
=3+(3/2)(2/90)-(3/8)(2/90)^2+ …
これはA#1の計算式に一致してますね。
√9.2=3*{1+(2/90)/2-(2/90)^2/8+(2/90)^3/16}

>(3)．正確な値と比較をせよ。と言うのは、n=1.2.3…を出すだけでは答え方として間違ってますか？
nを増加させて行く時、n=1,2,3…としたときの近似値と正確な値の差の絶対値（絶対誤差）
を比較して並べ、誤差が収束していくことを示せばいいかと思います。なお、絶対誤差を正確な値で割れば、相対誤差になりますので、相対誤差で比較して示しても良いでしょう。

回答No.2

alice_44

あ～あ、丸回答しちゃってる人がいるなあ。
でも、√(1+x) の級数展開は、
一度、自分でやってみたほうがいいよ。

精度評価は、実験から空想しても無意味なので、
少し考察を加えてみる。

9.2 が二桁精度であると解釈して、
2/90 の大きさを考えあわせると、
たぶん一次近似でよかろうとアタリがつく。
一次近似では、√9.2 ≒ 91/30 となる。
91/30 の小数表示から √9.2 ≒ 3.03
でよいかな？と見当をつけて
3.02 と 3.04 を二乗してみれば、
≒ 3.03 でよいことが判る。

回答No.1

info22_

課題等は自力解答が原則なので説明つき丸解答はできません。
自力でできるところはやって、途中計算を補足に書いて、分からない箇所をきいて下さい。

解き方だけ回答します。
f(x)=√x
f(1+x)=√(1+x)=1+x/2-x^2/8+x^3/16-(5x^4)/128+(7x^5)/256-(21x^6)/1024
+(33x^7)/2048-(429x^8)/32768+...
ただし,|x|<<1

√9.2=3√(9.2/9)=3√{1+(0.2/9)}=3f(1+(2/90))
x=2/90<<1
f(1+(2/90))=1+x/2-x^2/8+x^3/16-(5x^4)/128+(7x^5)/256-(21x^6)/1024
+(33x^7)/2048-(429x^8)/32768+... (x=0.2/9=2/90を代入)
近似値の計算
n=0,√(9.2)=3f(1+2/90)≒3*1=3
n=1,√(9.2)=3f(1+2/90)≒3*{1+(2/90)/2}=3.0333333333
n=2,√(9.2)=3f(1+2/90)≒3*{1+(2/90)/2-(2/90)^2/8}=3.033148
n=3,√(9.2)=3f(1+2/90)≒3*{1+(2/90)/2-(2/90)^2/8+(2/90)^3/16}=3.033150
… (←途中計算はやって)
n=8,√(9.2)=3f(1+2/90)
≒3*{1+(2/90)/2-(2/90)^2/8+(2/90)^3/16+ … -(429(2/90)^8)/32768}=3.033150

正確な値、WindowsPC内蔵電卓で計算すると
√9.2≒3.0331501776206202217027301745128

補足

ありがとうございます。実は出された課題から数字を変えて質問させていただきました。教えていただいた方法で課題を解いたところ、何とか近似値を出すことはできました。本当にありがとうございます。
ただ、どうしてそうなるのかわからない点がありますので質問させてください。
(1)．[/2][/8][/16]・・・という数字はどうやって出てくるのですか?
(2)．テキストの問題を応用すると、近似式としてf(9)+(f^1(9))/1!(9.2-9)+(f^2(9))/2!(9.2-9)^2+(f^3(9))/3!(9.2-9)^3+・・・+(f^(n)(4))/n!(4.3-4)^n　が、得られるようになると思うのですが、これは教えていただいたものとは別のやり方ですか？
(3)．正確な値と比較をせよ。と言うのは、n=1.2.3…を出すだけでは答え方として間違ってますか？

本当に何も知らなくてすみません。テキスト読んでも、ネットで探しても参考になるものが見つからず、困ってます。

宜しくお願い致します。