中学1年生の問題です

質問

中学一年生の問題なのですが、どうしても分からなかったので質問させていただきました。
空間図形問題です。

三角錐があります。その三角錐の底面は、一辺が6センチの正三角形です。
残りの三面はいずれも辺の長さが5センチ、5センチ、6センチの二等辺三角形です。表面積は何平方センチメートルになるでしょう？

という問題です。実際は図が示してあるので、文章ではうまく伝わらなかったかもしれませんが、お分かりになる方、教えてください。

ちょうど知識としては弧の長さから、おうぎ形の面積を求めるというあたりです。それ以上すすんだ知識は使わずに解く必要があるようです。

宜しくお願いします。

回答No.7

springside · ベストアンサー

この問題は、「三平方は中１の範囲を超えているのでナシで解くと言うことでお願いします。」ということであれば回答不能だと思うのですが、違うかな。

というのは、以下の理由によります。

　正三角形の面積を求めたい。
　　　　　↓
　「高さ」を求めるときに、「30°、60°、90°の直角三角形の辺の比は、1：√3：2である」ことを用いる必要がある。
　　　　　↓
　「1：√3：2という比」を算出するためには、三平方の定理を使う必要がある。

もちろん、「30°、60°、90°の直角三角形の辺の比が1：√3：2であるということは、問答無用で（理由なしで）暗記すべき事項」ということなのであれば話は違いますが。
（側面の面積を求める点でも、「直角三角形で、斜辺が５で、ある１辺が３の時、もう１辺は４（この問題の場合の「高さ」）である」というのも三平方の定理がないと理由の説明ができないと思います。）

お礼

回答ありがとうございます。

ちょうど円や弧のあたりの範囲で出てきたのですが、πをからめて解くというのは無理でしょうか？

回答No.12

kony0

三平方の定理自体は中３範囲なのですが、
３：４：５の直角三角形というのは、なぜかそれまでの範囲でも出ることあるみたいです。
なので、「側面積」なら出せます。

が、底面である正三角形の面積は、どうしても√がからむ（これも中３範囲）ため、中１範囲の問題としては、本質的に欠陥をはらんでいます。（範囲逸脱）

お礼

回答ありがとうございました。
やはり問題の範囲逸脱のようです。

出題者側に問題があったということですので、
私も冷や汗をかきましたが、少し胸をなでおろしています。

ありがとうございました。

回答No.11

jmh

答えに「三平方の証明」を埋め込めばよいと思います。
面積について知ってるなら、直角三角形の３辺に正方形を
くっつけて面積を比べる証明が理解できると思います。

お礼

回答ありがとうございました。
やはり問題の範囲逸脱のようです。

出題者側に問題があったということですので、
私も冷や汗をかきましたが、少し胸をなでおろしています。

ありがとうございました。

回答No.10

Largo_sp

多分有名進学中学の問題だと思いますよ....
中一の範囲では...とけるのかなぁ...
一辺が10cmの正方形の中に各々の頂点を中心とする半径10cmの1/4円の
すべてが重なる部分の面積を求める問題が、中学受験で出ました。
これは、正三角形の高さが一辺の約0.86倍だということをしらないと
解けません…(正確には√3/2倍ですが小学生にはそんなこと出せない)
これは三角定規の授業の時に、「先生が話すことがある」程度のことです
各々の辺が3:4:5の直角三角形も、「高さを測る」の時に出てきた
覚えがあります....同じく先生が話す程度のことだと思います。

進学小学校ならば、きっとやっているんでしょうけど....
実際の指導要領はわからないので、本来なら、問題文に書かないと
不公平になりますね....

お礼

回答ありがとうございました。
やはり問題の範囲逸脱のようです。

出題者側に問題があったということですので、
私も冷や汗をかきましたが、少し胸をなでおろしています。

ありがとうございました。

回答No.9

springside

>>ちょうど円や弧のあたりの範囲で出てきたのですが、πをからめて解くというのは無理でしょうか？

とのことですが、この問題は、円、弧、πとは全く無関係の問題ですので、それはちょっと無理かと。

ちなみに、
　底面の正三角形（底辺６、高さ３√３）＝６×３√３÷２＝９√３
　側面の三角形（底辺６、高さ４）＝６×４÷２＝１２（これが３つある）
なので、解答は９√３＋１２×３＝９√３＋３６であり、円、弧、πは登場しません。

お礼

回答ありがとうございました。
やはり問題の範囲逸脱のようです。

出題者側に問題があったということですので、
私も冷や汗をかきましたが、少し胸をなでおろしています。

ありがとうございました。

回答No.8

yonepon

こんにちは。

中１ですよね？？
今の指導要領がどうなっているのかわからないので
なんとも言えないのですが、私の時は（６年前）、
中１では三平方も平方根もまだだったと思います。
首都圏の学校で小中高一貫とかならやってるかも
しれませんが・・・私は田舎者なので。

ちょっと考えてみたんですが、やはり三平方と平方根
を使わないのは無理だと思います。もし思いついたら
また投稿しますね。ごめんなさい。

お礼

回答ありがとうございました。
やはり問題の範囲逸脱のようです。

出題者側に問題があったということですので、
私も冷や汗をかきましたが、少し胸をなでおろしています。

ありがとうございました。

回答No.6

Largo_sp

そうですね...３：４：５の直角三角形と、正三角形の高さが一辺の約0.866倍というのは
小学生でも使ってよかったと思うので...sin11さんの答えになると思います。
ちなみに計算結果は...38.59くらいかな...

お礼

回答ありがとうございました。
やはり問題の範囲逸脱のようです。

出題者側に問題があったということですので、
私も冷や汗をかきましたが、少し胸をなでおろしています。

ありがとうございました。

回答No.5

sin11

表面積を求めるのは、底面と側面の面積を足せばいいので、それぞれに面積を求めて行けばいいと思います。
底面は1辺６ｃｍの正三角形なので、頂点から垂直に線引いて、正三角形をちょうど半分にするようにひくと、角度が30°,60°,90°の三角形になるので、辺の比が1：2：√3になります（たしか中学範囲）。なので、３ｃｍ：６ｃｍ：3√3センチになるので、3×3√3÷2で面積がでるのでそれ二つ分が底面の面積です。

側面も同じように頂点から線を引くと、辺の比が3：4：5の三角形になるので面積もとめてください。

お礼

回答ありがとうございました。
やはり問題の範囲逸脱のようです。

出題者側に問題があったということですので、
私も冷や汗をかきましたが、少し胸をなでおろしています。

ありがとうございました。

回答No.4

jmh

三平方は使っても良いですか？

お礼

回答ありがとうございます。
三平方は中１の範囲を超えているのでナシで解くと言うことでお願いします。

回答No.3

watapen

でも図をみてて思ったのですが

これって中学一年生の範囲を超えている答えになってしまいません？

お礼

回答ありがとうございます。
ルートが入っちゃいますでしょうか？
うーん、ルートがありなら解けそうなんですが・・。

回答No.2

watapen

まったく同じ図形を二つ用意して
2つ分の面積をだしてから２でわるというのはどうでしょうか？

お礼

回答ありがとうございました。
やはり問題の範囲逸脱のようです。

出題者側に問題があったということですので、
私も冷や汗をかきましたが、少し胸をなでおろしています。

ありがとうございました。