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某中学入試の数学問題、これで解き方あってますか?

某中学入試の数学問題、これで解き方あってますか? 昨日、乗った電車の某学習塾の車内広告で某私立中学の入試問題が載ってました。 気になったので解いてみましたが、これで解答あってますでしょうか? 気になる点 1)論理構成X部分を「これでは説明が足りない」と突っ込まれると困るのですが、もうちょっといい説明方法はありますでしょうか? 2)補助線を描いて扇形Aを作成する以外のスマートな解法、ありますでしょうか? 問題 下記のような図形がある。(下記 添付画像の左側) 線Aは大きい円の中心を通る直径線である。 円の中の半円弧は大きい円の半径を直径とする半円弧である。 大きい円の直径は40センチ、半円弧の直径は20センチ(よって半径は10センチ)である。 線Bは大きい円の半径線であり、大きい円の上半分の巴部分の面積を二分している。 角あの角度を求めよ。 私の解答 論理構成 図右のように補助線を追加する。 半円Aと半円Bはともに同じ大きな円の半径を直径としているので、同じ図形である。 よって半円Aと半円Bの面積は同じ。 巴部分の半円A部分を切り取って半円Bに当てはめると巴部分は大きい円の半円となる。 よって巴部分の面積と大きな円の半円の面積は同じ。 半円の面積を二分する分割線を描くとしたら、図のように補助線追加図のように半円を二分する垂直な線となる。 (論理構成X部分)これが、巴になると線Bのように左に傾く線になるのだから、垂直の補助線と線Bでできた扇形Aの面積と半円Aの面積は同じといえる。 よって半円Aの面積を求め、その面積を成すだけの扇形Aの中心角を求め、その中心角を直角から差し引いた角度が角あとなる。 ではそれを求める。 半円Aの面積を求める。 半円Aの半径=10センチ 10 * 10 * 3.14 ÷ 2 = 157(平方センチ) 半円Aと扇形Aの面積は同じなのでこれは扇形の面積でもある。 大きな円の面積を求める 20 * 20 * 3.14 = 1256(平方センチ)  扇形の面積 ÷ 大きな円の面積  157 ÷  1256 = 0.125 = 1/8 扇形Aの面積は大きな円の面積の 1/8  大きな円の中心角は360度であるから扇形Aの中心角は 360 * 1/8 = 45(度) 直角から扇形Aの中心角を引けば角あが求められる。 90 - 45 = 45(度) よって 角あ = 45度 が導かれる。 (電車の中で見た問題図形ではとてもとても角あは45度には見えなかったのだが、おそらく「分度器を当てて、見当をつけてから解答を当てはめこむ」という解法をされないようにあえてアバウトな図にしていたのではないか? と推測されます。実際、私が描いた角度と同じぐらいに設定されていました)

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.5
  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)

#1です。 >>上半分の巴部分のうち、補助線の右側の面積も大きい円の1/8で、半円Aと同じです。 >これはどのようにして導かれますか? 大きい円の右上の1/4円のうち、半円Bは1/8なので、その差は1/8 半円Aや半円Bが大きい円の1/8であることは、#4で書かれているとおり

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よくわかりました。 回答者様も帝京合格です。 よかったですね。

その他の回答 (4)

  • 回答No.4

大きな円の面積を1とすると、 半径が半分の円の面積は1/4 その半円の面積は1/8 ということは、補助線と線Bでできる扇形の面積が1/8であれば、線Bは巴部分の面積を二分することになる。 扇形の面積が1/8なら、扇形の角度は360°×1/8=45° したがって、角あ=90°-45°=45°

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。 こちらの回答者様も円の相似性をもってして、いちいち面積を平方センチまで求めず面積比を中心角比に転換する方法ですね。 たしかにこの方がスマートで省エネな解答方法ですね。多分学習塾ではこの解答方法を教えているんでしょうね。計算時間も短くてすむし。 はい、回答者様も帝京中学ご入学でーす。

  • 回答No.3
  • f272
  • ベストアンサー率46% (6022/12994)

なんだか無駄なことをやってるなあ、というのが第一印象です。 小さな半円の面積を1とすれば、大きな半円の面積は4となるから(相似比が2だからね)、巴型の面積も4となる。線Bが巴型の面積を2等分するなら、巴型のうち線Bよりも左側の面積は2であって、そこから小さな半円を除けば面積が1の扇型となる(小さな半円の面積は1だからね)。大きな半円の面積は4だったから角あは180度の1/4であって45度と分かる。

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。 円の相似性をもってして、いちいち面積を求めずとも面積比だけで大きさを割り出すわけですね。 「上下の巴形は大きな円の面積の半分である」ことについては解答中に証明せずに断言されていますが、ここを「説明不足」として突かれることはないでしょうか? ないか・・・ そこまで細かくチェックしませんよね。 はい、回答者様、帝京中学、合格です。 入学式は武道館で高校、大学と合同で行いますよー(笑)

  • 回答No.2

私も先週電車の中で同じ問題見ました。s endさんとほぼ同じ解き方で半円Aの面積が全体の円の面積の1/8だから45°と出しました。 確かに電車の中の絵45°には見えなかったですねえ。理由はおっしゃる通りだと思いますよ。 二年前中学だった息子の友人が図形の角度を求める数学の授業で分度器を使うなどというインチキな手を使おうと思ったら先生に、分度器を使っても無駄よ・・。教科書の角度正確になっていないから・・・と言われたそうです。そういうことなのでしょうね。

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。 分度器使って当たりをつけちゃまずいですよね。 はい、回答者様、帝京中学、合格です。

  • 回答No.1
  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)

上半分の巴部分のうち、補助線の右側の面積も大きい円の1/8で、半円Aと同じです。 なので、あとは残りの左上の1/4円(中心角90度の扇形)を半分にすればいいのだから45度です。

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。 >上半分の巴部分のうち、補助線の右側の面積も大きい円の1/8で、半円Aと同じです。 これはどのようにして導かれますか?

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